Страница 278 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50. В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке 5 эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс указывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию. Найдите, сколько граммов реагента вступило в реакцию за 4 мин.

$m, г$

$t, мин$

Рис. 5

В соответствии с графиком, в начальный момент времени, когда $t=0$ мин, масса исходного вещества составляла $m_0 = 8$ г.

Через 4 минуты после начала реакции, при $t=4$ мин, масса оставшегося реагента, согласно графику, составляет $m_4 = 2$ г. Для этого находим на горизонтальной оси (ось времени) значение 4, поднимаемся до графика и смотрим соответствующее значение на вертикальной оси (ось массы).

Количество граммов реагента, которое вступило в реакцию за 4 минуты, можно найти как разность между начальной массой и массой, оставшейся через 4 минуты:

$m_{вступило} = m_0 - m_4 = 8 \text{ г} - 2 \text{ г} = 6 \text{ г}$

Ответ: 6.

51*. Дан график функции $y = -\frac{2}{x}$ (рис. 6).

Рис. 6

По графику функции найдите множество значений переменной $x$, при которых функция:

1) принимает неотрицательные значения;

2) убывает;

3) принимает значения, не меньшие 2;

4) принимает значения, меньшие (-1).

Дан график функции $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола, состоящая из двух ветвей. Одна ветвь расположена в первом координатном угле (где $x>0$ и $y>0$), а вторая — в третьем координатном угле (где $x<0$ и $y<0$). Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

1) принимает неотрицательные значения

Неотрицательные значения функции — это значения $y$, для которых выполняется условие $y \ge 0$. На графике это та часть кривой, которая лежит выше оси абсцисс (оси $x$) или на ней. Анализируя график, мы видим, что вся правая ветвь гиперболы расположена в первой четверти, где $y > 0$. Эта ветвь соответствует положительным значениям $x$. Функция никогда не равна нулю, так как уравнение $\frac{2}{x} = 0$ не имеет решений. Таким образом, функция принимает положительные значения. Следовательно, множество значений $x$, при которых функция принимает неотрицательные (в данном случае — строго положительные) значения, — это все положительные числа.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

2) убывает

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента ($x$) соответствует меньшее значение функции ($y$). На графике это выглядит как движение вниз при перемещении слева направо. Рассмотрим левую ветвь графика (при $x < 0$). При увеличении $x$ (например, от -5 до -1) значение $y$ уменьшается (от -0.4 до -2). Значит, на промежутке $(-\infty; 0)$ функция убывает. Рассмотрим правую ветвь графика (при $x > 0$). При увеличении $x$ (например, от 1 до 5) значение $y$ уменьшается (от 2 до 0.4). Значит, на промежутке $(0; +\infty)$ функция также убывает. Функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3) принимает значения, не меньшие 2

Нам нужно найти множество значений $x$, для которых $y \ge 2$. На графике это соответствует точкам, которые лежат на горизонтальной прямой $y=2$ или выше неё. Проведём мысленно прямую $y=2$. Она пересекает правую ветвь гиперболы. Найдём точку пересечения, решив уравнение $\frac{2}{x} = 2$. Отсюда $x=1$. Из графика видно, что значения функции больше 2, когда $x$ находится между 0 и 1. В точке $x=1$ значение функции равно 2. Таким образом, условию $y \ge 2$ удовлетворяют все $x$ из полуинтервала $(0; 1]$.

Ответ: $x \in (0; 1]$.

4) принимает значения, меньшие (–1)

Нам нужно найти множество значений $x$, для которых $y < -1$. На графике это соответствует точкам, которые лежат ниже горизонтальной прямой $y=-1$. Проведём мысленно прямую $y=-1$. Она пересекает левую ветвь гиперболы. Найдём точку пересечения, решив уравнение $\frac{2}{x} = -1$. Отсюда $x=-2$. Из графика видно, что значения функции меньше -1 (то есть кривая находится ниже прямой $y=-1$), когда $x$ находится между -2 и 0. Так как неравенство строгое ($y < -1$), точка $x=-2$ не включается в решение. Таким образом, условию $y < -1$ удовлетворяют все $x$ из интервала $(-2; 0)$.

Ответ: $x \in (-2; 0)$.

52. Графики двух функций пересекаются в точках A и B (рис. 7).

Найдите координаты точек A и B.

Для того чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, необходимо решить систему уравнений, которые задают эти функции. В точках пересечения значения $y$ для обоих графиков совпадают при одинаковом значении $x$.

Так как в задании отсутствует "рис. 7", мы предположим, что на нем изображены графики параболы и прямой, так как это является стандартным примером для подобных задач.

Сначала определим уравнения для каждой функции на основе восстановленного графика.

Определение уравнения параболы.
График является стандартной параболой с вершиной в начале координат (0, 0). Проверим, проходит ли она через характерные точки: $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.
$y = (-1)^2 = 1$
$y = 1^2 = 1$
$y = 2^2 = 4$
Все точки принадлежат графику, значит, уравнение параболы: $y = x^2$.

Определение уравнения прямой.
Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$, следовательно, свободный член $b = 2$. Прямая также проходит через точку $(2, 4)$. Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$4 = k \cdot 2 + 2$
$2k = 4 - 2$
$2k = 2$
$k = 1$
Следовательно, уравнение прямой: $y = x + 2$.

Нахождение координат точек пересечения.
Для нахождения координат точек пересечения A и B необходимо решить систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений: $x^2 = x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Разложим уравнение на множители. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-2$, а сумма равна $-(-1)=1$. Это числа $2$ и $-1$. $(x - 2)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в любое из двух исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = x + 2$.
Для $x_1 = 2$: $y_1 = 2 + 2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
Для $x_2 = -1$: $y_2 = -1 + 2 = 1$. Получаем точку $(-1, 1)$.

Таким образом, мы нашли координаты двух точек пересечения. Глядя на график, мы видим, что точка A находится левее (имеет меньшую абсциссу), а точка B - правее.
Координаты точки A: $(-1, 1)$.
Координаты точки B: $(2, 4)$.

Ответ: $A(-1, 1)$, $B(2, 4)$.