Номер 52, страница 278 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52. Графики двух функций пересекаются в точках A и B (рис. 7).

Найдите координаты точек A и B.

Для того чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, необходимо решить систему уравнений, которые задают эти функции. В точках пересечения значения $y$ для обоих графиков совпадают при одинаковом значении $x$.

Так как в задании отсутствует "рис. 7", мы предположим, что на нем изображены графики параболы и прямой, так как это является стандартным примером для подобных задач.

Сначала определим уравнения для каждой функции на основе восстановленного графика.

Определение уравнения параболы.
График является стандартной параболой с вершиной в начале координат (0, 0). Проверим, проходит ли она через характерные точки: $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.
$y = (-1)^2 = 1$
$y = 1^2 = 1$
$y = 2^2 = 4$
Все точки принадлежат графику, значит, уравнение параболы: $y = x^2$.

Определение уравнения прямой.
Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$, следовательно, свободный член $b = 2$. Прямая также проходит через точку $(2, 4)$. Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$4 = k \cdot 2 + 2$
$2k = 4 - 2$
$2k = 2$
$k = 1$
Следовательно, уравнение прямой: $y = x + 2$.

Нахождение координат точек пересечения.
Для нахождения координат точек пересечения A и B необходимо решить систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений: $x^2 = x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Разложим уравнение на множители. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-2$, а сумма равна $-(-1)=1$. Это числа $2$ и $-1$. $(x - 2)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в любое из двух исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = x + 2$.
Для $x_1 = 2$: $y_1 = 2 + 2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
Для $x_2 = -1$: $y_2 = -1 + 2 = 1$. Получаем точку $(-1, 1)$.

Таким образом, мы нашли координаты двух точек пересечения. Глядя на график, мы видим, что точка A находится левее (имеет меньшую абсциссу), а точка B - правее.
Координаты точки A: $(-1, 1)$.
Координаты точки B: $(2, 4)$.

Ответ: $A(-1, 1)$, $B(2, 4)$.