Номер 58, страница 279 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

58. При каких натуральных значениях n дробное выражение является целым числом:

1) $\frac{n^2 - n + 3}{n + 1}$;

2) $\frac{2n^2 - 3n + 2}{2n - 1}$?

1) Чтобы дробное выражение $\frac{n^2 - n + 3}{n + 1}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. Выделим целую часть дроби, преобразовав числитель:

$n^2 - n + 3 = (n^2 + n) - 2n + 3 = n(n+1) - 2n + 3 = n(n+1) - (2n + 2) + 5 = n(n+1) - 2(n+1) + 5 = (n-2)(n+1) + 5$.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{(n-2)(n+1) + 5}{n + 1} = \frac{(n-2)(n+1)}{n+1} + \frac{5}{n+1} = n - 2 + \frac{5}{n+1}$.

По условию, $n$ — натуральное число, поэтому $n \ge 1$. Это значит, что выражение $n-2$ является целым числом. Чтобы сумма $n - 2 + \frac{5}{n+1}$ была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{5}{n+1}$ также было целым. Это возможно только в том случае, если знаменатель $n+1$ является делителем числа 5.

Делители числа 5: $1, -1, 5, -5$.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $n+1 \ge 2$. Из всех делителей числа 5 этому условию удовлетворяет только число 5.

Следовательно, $n+1 = 5$, откуда $n = 4$.

Проверим найденное значение. При $n=4$ выражение равно $\frac{4^2 - 4 + 3}{4+1} = \frac{16 - 4 + 3}{5} = \frac{15}{5} = 3$, что является целым числом.

Ответ: $n=4$.

2) Рассмотрим второе выражение $\frac{2n^2 - 3n + 2}{2n - 1}$. Аналогично первому пункту, выделим целую часть дроби путем деления многочлена в числителе на многочлен в знаменателе.

$\frac{2n^2 - 3n + 2}{2n - 1} = \frac{n(2n-1) - 2n + 2}{2n-1} = \frac{n(2n-1)}{2n-1} + \frac{-2n+2}{2n-1} = n + \frac{-(2n-2)}{2n-1} = n + \frac{-(2n-1)+1}{2n-1} = n - \frac{2n-1}{2n-1} + \frac{1}{2n-1} = n - 1 + \frac{1}{2n-1}$.

Так как $n$ — натуральное число, $n-1$ является целым числом. Чтобы все выражение было целым, дробь $\frac{1}{2n-1}$ также должна быть целым числом. Это возможно, только если знаменатель $2n-1$ является делителем числа 1.

Делители числа 1: $1, -1$.

Рассмотрим два случая:

1. $2n-1 = 1 \implies 2n = 2 \implies n = 1$. Это натуральное число.

2. $2n-1 = -1 \implies 2n = 0 \implies n = 0$. Это значение не является натуральным.

Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором выражение является целым числом, это $n=1$.

Проверим найденное значение. При $n=1$ выражение равно $\frac{2(1)^2 - 3(1) + 2}{2(1)-1} = \frac{2-3+2}{1} = \frac{1}{1} = 1$, что является целым числом.

Ответ: $n=1$.