Номер 56, страница 279 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

56. После каждой стирки кусок мыла уменьшается на $20\%$. После скольких стирок кусок мыла уменьшится не менее чем на $\frac{2}{3}$? Найдите наименьшее такое число.

Пусть начальная масса куска мыла равна $M_0$.

После каждой стирки масса мыла уменьшается на 20%, следовательно, от нее остается $100\% - 20\% = 80\%$. Это означает, что после каждой стирки масса умножается на коэффициент $0.8$.

Масса мыла после $n$ стирок, $M_n$, представляет собой член геометрической прогрессии и может быть вычислена по формуле:$M_n = M_0 \cdot (0.8)^n$.

По условию задачи, кусок мыла должен уменьшиться не менее чем на две трети. Уменьшение массы составляет $M_0 - M_n$. Таким образом, мы должны решить неравенство:$M_0 - M_n \ge \frac{2}{3} M_0$.

Подставим выражение для $M_n$ в неравенство:$M_0 - M_0 \cdot (0.8)^n \ge \frac{2}{3} M_0$.

Поскольку начальная масса $M_0$ положительна, мы можем разделить обе части неравенства на $M_0$:$1 - (0.8)^n \ge \frac{2}{3}$.

Преобразуем неравенство, чтобы выделить $(0.8)^n$:$1 - \frac{2}{3} \ge (0.8)^n$$\frac{1}{3} \ge (0.8)^n$.

Итак, нам нужно найти наименьшее целое число $n$, для которого выполняется неравенство $(0.8)^n \le \frac{1}{3}$. Будем подбирать значения $n$ по порядку:

При $n=1$: $(0.8)^1 = 0.8$. Так как $0.8 > \frac{1}{3}$ (примерно $0.333$), это значение не подходит.

При $n=2$: $(0.8)^2 = 0.64$. Так как $0.64 > \frac{1}{3}$, это значение не подходит.

При $n=3$: $(0.8)^3 = 0.512$. Так как $0.512 > \frac{1}{3}$, это значение не подходит.

При $n=4$: $(0.8)^4 = 0.4096$. Так как $0.4096 > \frac{1}{3}$, это значение не подходит.

При $n=5$: $(0.8)^5 = 0.32768$. Так как $0.32768 < \frac{1}{3}$ (поскольку $1/3 \approx 0.333...$), это значение удовлетворяет условию.

Следовательно, наименьшее количество стирок, после которого масса куска мыла уменьшится не менее чем на две трети, равно 5.

Ответ: 5