Номер 51, страница 278 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51*. Дан график функции $y = -\frac{2}{x}$ (рис. 6).

Рис. 6

По графику функции найдите множество значений переменной $x$, при которых функция:

1) принимает неотрицательные значения;

2) убывает;

3) принимает значения, не меньшие 2;

4) принимает значения, меньшие (-1).

Дан график функции $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола, состоящая из двух ветвей. Одна ветвь расположена в первом координатном угле (где $x>0$ и $y>0$), а вторая — в третьем координатном угле (где $x<0$ и $y<0$). Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

1) принимает неотрицательные значения

Неотрицательные значения функции — это значения $y$, для которых выполняется условие $y \ge 0$. На графике это та часть кривой, которая лежит выше оси абсцисс (оси $x$) или на ней. Анализируя график, мы видим, что вся правая ветвь гиперболы расположена в первой четверти, где $y > 0$. Эта ветвь соответствует положительным значениям $x$. Функция никогда не равна нулю, так как уравнение $\frac{2}{x} = 0$ не имеет решений. Таким образом, функция принимает положительные значения. Следовательно, множество значений $x$, при которых функция принимает неотрицательные (в данном случае — строго положительные) значения, — это все положительные числа.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

2) убывает

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента ($x$) соответствует меньшее значение функции ($y$). На графике это выглядит как движение вниз при перемещении слева направо. Рассмотрим левую ветвь графика (при $x < 0$). При увеличении $x$ (например, от -5 до -1) значение $y$ уменьшается (от -0.4 до -2). Значит, на промежутке $(-\infty; 0)$ функция убывает. Рассмотрим правую ветвь графика (при $x > 0$). При увеличении $x$ (например, от 1 до 5) значение $y$ уменьшается (от 2 до 0.4). Значит, на промежутке $(0; +\infty)$ функция также убывает. Функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3) принимает значения, не меньшие 2

Нам нужно найти множество значений $x$, для которых $y \ge 2$. На графике это соответствует точкам, которые лежат на горизонтальной прямой $y=2$ или выше неё. Проведём мысленно прямую $y=2$. Она пересекает правую ветвь гиперболы. Найдём точку пересечения, решив уравнение $\frac{2}{x} = 2$. Отсюда $x=1$. Из графика видно, что значения функции больше 2, когда $x$ находится между 0 и 1. В точке $x=1$ значение функции равно 2. Таким образом, условию $y \ge 2$ удовлетворяют все $x$ из полуинтервала $(0; 1]$.

Ответ: $x \in (0; 1]$.

4) принимает значения, меньшие (–1)

Нам нужно найти множество значений $x$, для которых $y < -1$. На графике это соответствует точкам, которые лежат ниже горизонтальной прямой $y=-1$. Проведём мысленно прямую $y=-1$. Она пересекает левую ветвь гиперболы. Найдём точку пересечения, решив уравнение $\frac{2}{x} = -1$. Отсюда $x=-2$. Из графика видно, что значения функции меньше -1 (то есть кривая находится ниже прямой $y=-1$), когда $x$ находится между -2 и 0. Так как неравенство строгое ($y < -1$), точка $x=-2$ не включается в решение. Таким образом, условию $y < -1$ удовлетворяют все $x$ из интервала $(-2; 0)$.

Ответ: $x \in (-2; 0)$.