Номер 46, страница 276 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точку $M (-5; 4)$ и параллелен графику функции $y = 1\frac{1}{3}x + 7$, и постройте ее график. Найдите значения аргумента линейных функций, для которых значения функции:

1) положительные;

2) отрицательные.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент (наклон), а $b$ – точка пересечения с осью ординат.

По условию, график искомой функции параллелен графику функции $y = 1\frac{1}{3}x + 7$. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, угловой коэффициент данной функции $k = \frac{4}{3}$. Следовательно, искомая функция имеет вид $y = \frac{4}{3}x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$, воспользуемся тем, что график функции проходит через точку $M(-5; 4)$. Подставим координаты этой точки ($x = -5$, $y = 4$) в уравнение функции:

$4 = \frac{4}{3}(-5) + b$

$4 = -\frac{20}{3} + b$

$b = 4 + \frac{20}{3} = \frac{12}{3} + \frac{20}{3} = \frac{32}{3}$

Итак, искомая формула линейной функции: $y = \frac{4}{3}x + \frac{32}{3}$.

Для построения графика найдем две точки. Одна точка у нас уже есть: $M(-5; 4)$. Найдем вторую точку, например, точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$), где $y=0$:

$0 = \frac{4}{3}x + \frac{32}{3}$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$0 = 4x + 32$

$4x = -32$

$x = -8$

Получили вторую точку $(-8; 0)$. Теперь построим график, проведя прямую через точки $M(-5; 4)$ и $(-8; 0)$.

Теперь найдем значения аргумента $x$, для которых значения функции положительны или отрицательны.

1) положительные

Значения функции положительны, когда $y > 0$.

$\frac{4}{3}x + \frac{32}{3} > 0$

Умножим неравенство на 3:

$4x + 32 > 0$

$4x > -32$

$x > -8$

Это соответствует части графика, которая находится выше оси $Ox$.

Ответ: при $x \in (-8; +\infty)$.

2) отрицательные

Значения функции отрицательны, когда $y < 0$.

$\frac{4}{3}x + \frac{32}{3} < 0$

Умножим неравенство на 3:

$4x + 32 < 0$

$4x < -32$

$x < -8$

Это соответствует части графика, которая находится ниже оси $Ox$.

Ответ: при $x \in (-\infty; -8)$.