Страница 276 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42. Графики каких линейных функций: $y = 4x + 8$; $y = -5x + 11$; $y = 4x$; $y = 5x$; $y = 7x - 0,5$; $y = -6x - 0,5$; $y = 1,5x + 2$; $y = -9 + 1,5x$; $y = x - 4$; $y = 8 + 6x$:

Рис. 1

1) пересекаются;

2) параллельны;

3) совпадают?

Для анализа взаимного расположения графиков линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$.

Приведем все данные функции к стандартному виду $y = kx + b$ и определим их коэффициенты:
$y = 4x + 8$: $k=4, b=8$
$y = -5x + 11$: $k=-5, b=11$
$y = 4x$: $k=4, b=0$
$y = 5x$: $k=5, b=0$
$y = 7x - 0,5$: $k=7, b=-0,5$
$y = -6x - 0,5$: $k=-6, b=-0,5$
$y = 1,5x + 2$: $k=1,5, b=2$
$y = -9 + 1,5x \implies y = 1,5x - 9$: $k=1,5, b=-9$
$y = x - 4$: $k=1, b=-4$
$y = 8 + 6x \implies y = 6x + 8$: $k=6, b=8$

1) пересекаются

Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты $k$ различны ($k_1 \ne k_2$). В этом случае прямые имеют одну общую точку.
Большинство пар из предложенного списка функций будут пересекаться, так как их угловые коэффициенты различны. Пересекаются все пары функций, которые не являются параллельными.
Например, пересекаются графики функций $y = 4x + 8$ и $y = -5x + 11$, так как их угловые коэффициенты $4 \ne -5$. Также пересекаются $y = 5x$ и $y = 7x - 0,5$, так как $5 \ne 7$.

Ответ: Графики функций пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны. Например, $y = 4x + 8$ и $y = 5x$.

2) параллельны

Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты $k$ равны, а свободные члены $b$ различны ($k_1 = k_2, b_1 \ne b_2$). В этом случае прямые не имеют общих точек.
В списке есть две пары таких функций:
Первая пара: $y = 4x + 8$ и $y = 4x$. Здесь $k=4$ в обоих случаях, а свободные члены $b=8$ и $b=0$ различны.
Вторая пара: $y = 1,5x + 2$ и $y = -9 + 1,5x$. Здесь $k=1,5$ в обоих случаях, а свободные члены $b=2$ и $b=-9$ различны.

Ответ: $y = 4x + 8$ и $y = 4x$; $y = 1,5x + 2$ и $y = -9 + 1,5x$.

3) совпадают

Графики двух линейных функций совпадают, если их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$ соответственно равны ($k_1 = k_2, b_1 = b_2$). В этом случае все точки одной прямой принадлежат и другой.
Среди предложенных функций нет ни одной пары, у которой одновременно были бы равны и угловые коэффициенты, и свободные члены.

Ответ: Таких функций в списке нет.

43. Для каких значений аргумента x являются положительными значения функции:

1) $y = -0,125x + 7;$

2) $y = 0,3 - 0,015x;$

3) $y = 32x - 2^7;$

4) $y = 1000x - 80;$

5) $y = 0,5x^2;$

6) $y + -3x^3;$

7) $y = \frac{0,3}{x};$

8) $y = -\frac{3}{x}?$

1) Для того чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значения функции $y = -0,125x + 7$ положительны, необходимо решить неравенство $y > 0$.

$-0,125x + 7 > 0$

Перенесем слагаемое 7 в правую часть неравенства, изменив его знак:

$-0,125x > -7$

Разделим обе части неравенства на $-0,125$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-7}{-0,125}$

$x < 56$

Ответ: $x < 56$.

2) Решим неравенство $y > 0$ для функции $y = 0,3 - 0,015x$.

$0,3 - 0,015x > 0$

$-0,015x > -0,3$

Разделим обе части на $-0,015$, меняя знак неравенства:

$x < \frac{-0,3}{-0,015}$

$x < \frac{300}{15}$

$x < 20$

Ответ: $x < 20$.

3) Решим неравенство $y > 0$ для функции $y = 32x - 2^7$.

$32x - 2^7 > 0$

Сначала вычислим $2^7 = 128$.

$32x - 128 > 0$

$32x > 128$

Разделим обе части на 32:

$x > \frac{128}{32}$

$x > 4$

Ответ: $x > 4$.

4) Решим неравенство $y > 0$ для функции $y = 1000x - 80$.

$1000x - 80 > 0$

$1000x > 80$

$x > \frac{80}{1000}$

$x > 0,08$

Ответ: $x > 0,08$.

5) Решим неравенство $y > 0$ для функции $y = 0,5x^2$.

$0,5x^2 > 0$

Разделим обе части на 0,5:

$x^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, является положительным. Неравенство выполняется для всех значений $x$, кроме $x = 0$.

Ответ: $x \neq 0$.

6) В условии, вероятно, опечатка. Будем считать, что функция имеет вид $y = -3x^3$. Решим неравенство $y > 0$.

$-3x^3 > 0$

Разделим обе части на -3, меняя знак неравенства:

$x^3 < 0$

Куб числа отрицателен тогда и только тогда, когда само число отрицательно.

$x < 0$

Ответ: $x < 0$.

7) Решим неравенство $y > 0$ для функции $y = \frac{0,3}{x}$.

$\frac{0,3}{x} > 0$

Дробь будет положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель 0,3 положителен. Следовательно, знаменатель $x$ также должен быть положителен.

$x > 0$

Ответ: $x > 0$.

8) Решим неравенство $y > 0$ для функции $y = -\frac{3}{x}$.

$-\frac{3}{x} > 0$

Умножим обе части на -1, меняя знак неравенства:

$\frac{3}{x} < 0$

Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Числитель 3 положителен. Следовательно, знаменатель $x$ должен быть отрицателен.

$x < 0$

Ответ: $x < 0$.

44. Принадлежит ли графику функции $y = -\frac{3}{8}x - 4$ точка:

1) A (0; -4);

2) B (8; -7);

3) C (-8; -1);

4) M (16; 2);

5) K (-16; -2);

6) F (-4; -2,5)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты (x; y) в уравнение функции $y = -\frac{3}{8}x - 4$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

1) A(0; –4);

Подставим координаты точки A в уравнение функции. Здесь $x = 0$, $y = -4$.

Проверяем: $y = -\frac{3}{8} \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$.

Получили, что при $x = 0$ значение функции равно $-4$, что совпадает с ординатой точки A. Равенство $-4 = -4$ верно.

Ответ: точка A принадлежит графику функции.

2) B(8; –7);

Подставим координаты точки B в уравнение функции. Здесь $x = 8$, $y = -7$.

Проверяем: $y = -\frac{3}{8} \cdot 8 - 4 = -3 - 4 = -7$.

Получили, что при $x = 8$ значение функции равно $-7$, что совпадает с ординатой точки B. Равенство $-7 = -7$ верно.

Ответ: точка B принадлежит графику функции.

3) C(–8; –1);

Подставим координаты точки C в уравнение функции. Здесь $x = -8$, $y = -1$.

Проверяем: $y = -\frac{3}{8} \cdot (-8) - 4 = 3 - 4 = -1$.

Получили, что при $x = -8$ значение функции равно $-1$, что совпадает с ординатой точки C. Равенство $-1 = -1$ верно.

Ответ: точка C принадлежит графику функции.

4) M(16; 2);

Подставим координаты точки M в уравнение функции. Здесь $x = 16$, $y = 2$.

Проверяем: $y = -\frac{3}{8} \cdot 16 - 4 = -3 \cdot 2 - 4 = -6 - 4 = -10$.

Получили, что при $x = 16$ значение функции равно $-10$, что не совпадает с ординатой точки M, равной 2. Равенство $2 = -10$ неверно.

Ответ: точка M не принадлежит графику функции.

5) K(–16; –2);

Подставим координаты точки K в уравнение функции. Здесь $x = -16$, $y = -2$.

Проверяем: $y = -\frac{3}{8} \cdot (-16) - 4 = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$.

Получили, что при $x = -16$ значение функции равно $2$, что не совпадает с ординатой точки K, равной -2. Равенство $-2 = 2$ неверно.

Ответ: точка K не принадлежит графику функции.

6) F(–4; –2,5)?

Подставим координаты точки F в уравнение функции. Здесь $x = -4$, $y = -2,5$.

Проверяем: $y = -\frac{3}{8} \cdot (-4) - 4 = \frac{12}{8} - 4 = \frac{3}{2} - 4 = 1,5 - 4 = -2,5$.

Получили, что при $x = -4$ значение функции равно $-2,5$, что совпадает с ординатой точки F. Равенство $-2,5 = -2,5$ верно.

Ответ: точка F принадлежит графику функции.

45. Запишите формулы четырех линейных функций и постройте их графики в одной и той же координатной плоскости, если известно, что график одной из них проходит через точки $F (3; 0)$ и $K (0; 3)$, другой — через точки $M (-6; 0)$ и $T (0; -6)$, а графики третьей и четвертой функций пересекают ось ординат в точке с ординатой, равной 6, и параллельны соответственно графикам первой и второй функций.

Для решения задачи найдем последовательно формулы для каждой из четырех линейных функций вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $Oy$.

1. Нахождение формулы первой линейной функции

График первой функции проходит через точки $F(3; 0)$ и $K(0; 3)$.

Точка $K(0; 3)$ является точкой пересечения графика с осью ординат, следовательно, коэффициент $b_1 = 3$. Формула функции принимает вид $y = k_1x + 3$.

Для нахождения углового коэффициента $k_1$ подставим координаты точки $F(3; 0)$ в уравнение:

$0 = k_1 \cdot 3 + 3$

$3k_1 = -3$

$k_1 = -1$

Таким образом, формула первой функции: $y = -x + 3$.

2. Нахождение формулы второй линейной функции

График второй функции проходит через точки $M(-6; 0)$ и $T(0; -6)$.

Точка $T(0; -6)$ является точкой пересечения графика с осью ординат, следовательно, коэффициент $b_2 = -6$. Формула функции принимает вид $y = k_2x - 6$.

Для нахождения углового коэффициента $k_2$ подставим координаты точки $M(-6; 0)$ в уравнение:

$0 = k_2 \cdot (-6) - 6$

$-6k_2 = 6$

$k_2 = -1$

Таким образом, формула второй функции: $y = -x - 6$.

3. Нахождение формулы третьей линейной функции

График третьей функции параллелен графику первой функции и пересекает ось ординат в точке с ординатой 6.

Условие параллельности прямых означает, что их угловые коэффициенты равны. Следовательно, $k_3 = k_1 = -1$.

Точка пересечения с осью ординат дает нам коэффициент $b_3 = 6$.

Таким образом, формула третьей функции: $y = -x + 6$.

4. Нахождение формулы четвертой линейной функции

График четвертой функции параллелен графику второй функции и пересекает ось ординат в точке с ординатой 6.

Так как прямые параллельны, их угловые коэффициенты равны: $k_4 = k_2 = -1$.

Точка пересечения с осью ординат та же, что и у третьей функции, значит $b_4 = 6$.

Таким образом, формула четвертой функции: $y = -x + 6$.

Заметим, что формулы третьей и четвертой функций совпадают.

Ответ:

Формулы четырех линейных функций:

Первая функция: $y = -x + 3$

Вторая функция: $y = -x - 6$

Третья функция: $y = -x + 6$

Четвертая функция: $y = -x + 6$

Графики этих функций построены на координатной плоскости ниже. Так как третья и четвертая функции идентичны, на графике изображены три различные параллельные прямые.

46. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точку $M (-5; 4)$ и параллелен графику функции $y = 1\frac{1}{3}x + 7$, и постройте ее график. Найдите значения аргумента линейных функций, для которых значения функции:

1) положительные;

2) отрицательные.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент (наклон), а $b$ – точка пересечения с осью ординат.

По условию, график искомой функции параллелен графику функции $y = 1\frac{1}{3}x + 7$. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, угловой коэффициент данной функции $k = \frac{4}{3}$. Следовательно, искомая функция имеет вид $y = \frac{4}{3}x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$, воспользуемся тем, что график функции проходит через точку $M(-5; 4)$. Подставим координаты этой точки ($x = -5$, $y = 4$) в уравнение функции:

$4 = \frac{4}{3}(-5) + b$

$4 = -\frac{20}{3} + b$

$b = 4 + \frac{20}{3} = \frac{12}{3} + \frac{20}{3} = \frac{32}{3}$

Итак, искомая формула линейной функции: $y = \frac{4}{3}x + \frac{32}{3}$.

Для построения графика найдем две точки. Одна точка у нас уже есть: $M(-5; 4)$. Найдем вторую точку, например, точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$), где $y=0$:

$0 = \frac{4}{3}x + \frac{32}{3}$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$0 = 4x + 32$

$4x = -32$

$x = -8$

Получили вторую точку $(-8; 0)$. Теперь построим график, проведя прямую через точки $M(-5; 4)$ и $(-8; 0)$.

Теперь найдем значения аргумента $x$, для которых значения функции положительны или отрицательны.

1) положительные

Значения функции положительны, когда $y > 0$.

$\frac{4}{3}x + \frac{32}{3} > 0$

Умножим неравенство на 3:

$4x + 32 > 0$

$4x > -32$

$x > -8$

Это соответствует части графика, которая находится выше оси $Ox$.

Ответ: при $x \in (-8; +\infty)$.

2) отрицательные

Значения функции отрицательны, когда $y < 0$.

$\frac{4}{3}x + \frac{32}{3} < 0$

Умножим неравенство на 3:

$4x + 32 < 0$

$4x < -32$

$x < -8$

Это соответствует части графика, которая находится ниже оси $Ox$.

Ответ: при $x \in (-\infty; -8)$.

47. Мальчик прошел вниз к реке, отдохнул у реки и вернулся обратно. На рисунке 2 изображен график движения мальчика. Определите, пользуясь графиком:

1) сколько минут отдыхал мальчик у реки;

2) скорость мальчика на подъеме (в км/ч);

3) сколько минут заняла ходьба.

$S$, км

$t$, мин

Рис. 2

1) сколько минут отдыхал мальчик у реки;На графике зависимости расстояния от времени горизонтальный участок означает, что расстояние от начальной точки не меняется, то есть объект находится в состоянии покоя. Этот участок соответствует отдыху мальчика у реки. Он начинается в момент времени $t_1 = 40$ мин и заканчивается в $t_2 = 120$ мин. Чтобы найти продолжительность отдыха, вычтем из конечного времени начальное: $t_{отдыха} = t_2 - t_1 = 120 \text{ мин} - 40 \text{ мин} = 80 \text{ мин}$.Ответ: 80 минут.

2) скорость мальчика на подъеме (в км/ч);Подъем — это возвращение мальчика к начальной точке, что на графике соответствует последнему, нисходящему участку. Движение на этом участке начинается в момент времени $t_1 = 120$ мин с расстояния $S_1 = 3$ км и заканчивается в момент $t_2 = 180$ мин на расстоянии $S_2 = 0$ км.Найдем расстояние, пройденное на подъеме: $\Delta S = S_1 - S_2 = 3 \text{ км} - 0 \text{ км} = 3 \text{ км}$.Найдем время, затраченное на подъем: $\Delta t = t_2 - t_1 = 180 \text{ мин} - 120 \text{ мин} = 60 \text{ мин}$.Вопрос требует указать скорость в км/ч, поэтому переведем минуты в часы: $60 \text{ мин} = 1 \text{ ч}$.Теперь можем рассчитать скорость по формуле $v = \frac{\Delta S}{\Delta t}$: $v = \frac{3 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 3 \text{ км/ч}$.Ответ: 3 км/ч.

3) сколько минут заняла ходьба.Общее время ходьбы — это суммарное время, в течение которого мальчик двигался, то есть время спуска к реке и время подъема обратно, за исключением времени отдыха.Время спуска (первый участок графика): $t_{спуска} = 40 \text{ мин} - 0 \text{ мин} = 40 \text{ мин}$.Время подъема (третий участок графика): $t_{подъема} = 180 \text{ мин} - 120 \text{ мин} = 60 \text{ мин}$.Суммарное время ходьбы: $T_{ходьбы} = t_{спуска} + t_{подъема} = 40 \text{ мин} + 60 \text{ мин} = 100 \text{ мин}$.Другой способ: из общего времени всего путешествия ($180$ минут) вычесть время отдыха ($80$ минут): $180 \text{ мин} - 80 \text{ мин} = 100 \text{ мин}$.Ответ: 100 минут.