Страница 274 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28. 1) $\left(\frac{20a}{25 - a^2} + \frac{5 - a}{a + 5}\right) : \frac{a + 5}{5} - \frac{5}{5 - a}$;

2) $\left(\frac{28c}{c^2 - 49} + \frac{c - 7}{c + 7}\right) \cdot \frac{c}{c + 7} - \frac{c}{c - 7}$.

1) Упростим выражение $(\frac{20a}{25 - a^2} + \frac{5 - a}{a + 5}) : \frac{a + 5}{5} - \frac{5}{5 - a}$ по действиям.

Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $25 - a^2$ является разностью квадратов и раскладывается на множители $(5 - a)(5 + a)$.

$\frac{20a}{25 - a^2} + \frac{5 - a}{a + 5} = \frac{20a}{(5 - a)(5 + a)} + \frac{5 - a}{5 + a}$

Общий знаменатель — $(5 - a)(5 + a)$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(5 - a)$:

$\frac{20a}{(5 - a)(5 + a)} + \frac{(5 - a)(5 - a)}{(5 + a)(5 - a)} = \frac{20a + (5 - a)^2}{(5 - a)(5 + a)}$

Раскроем квадрат в числителе: $(5 - a)^2 = 25 - 10a + a^2$.

$\frac{20a + 25 - 10a + a^2}{(5 - a)(5 + a)} = \frac{a^2 + 10a + 25}{(5 - a)(5 + a)}$

Числитель $a^2 + 10a + 25$ является полным квадратом суммы $(a + 5)^2$.

$\frac{(a + 5)^2}{(5 - a)(5 + a)} = \frac{a + 5}{5 - a}$

Теперь выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь.

$\frac{a + 5}{5 - a} : \frac{a + 5}{5} = \frac{a + 5}{5 - a} \cdot \frac{5}{a + 5}$

Сократим одинаковые множители $(a + 5)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{5 - a} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{5 - a}$

Последнее действие — вычитание.

$\frac{5}{5 - a} - \frac{5}{5 - a} = 0$

Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $(\frac{28c}{c^2 - 49} + \frac{c - 7}{c + 7}) \cdot \frac{c}{c + 7} - \frac{c}{c - 7}$ по действиям.

Сначала выполним сложение в скобках. Разложим знаменатель $c^2 - 49$ на множители по формуле разности квадратов: $(c - 7)(c + 7)$.

$\frac{28c}{c^2 - 49} + \frac{c - 7}{c + 7} = \frac{28c}{(c - 7)(c + 7)} + \frac{c - 7}{c + 7}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(c - 7)(c + 7)$. Для этого домножим вторую дробь на $(c - 7)$.

$\frac{28c}{(c - 7)(c + 7)} + \frac{(c - 7)(c - 7)}{(c + 7)(c - 7)} = \frac{28c + (c - 7)^2}{(c - 7)(c + 7)}$

Раскроем квадрат в числителе: $(c - 7)^2 = c^2 - 14c + 49$.

$\frac{28c + c^2 - 14c + 49}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{c^2 + 14c + 49}{(c - 7)(c + 7)}$

Числитель $c^2 + 14c + 49$ является полным квадратом суммы $(c + 7)^2$.

$\frac{(c + 7)^2}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{c + 7}{c - 7}$

Теперь выполним умножение.

$\frac{c + 7}{c - 7} \cdot \frac{c}{c + 7}$

Сократим одинаковые множители $(c + 7)$:

$\frac{1}{c - 7} \cdot \frac{c}{1} = \frac{c}{c - 7}$

Последнее действие — вычитание.

$\frac{c}{c - 7} - \frac{c}{c - 7} = 0$

Ответ: $0$.

Решите уравнения (29–31):

29. 1) $(x + 2)^2 - (x^2 + 2^2) - 2^3 = 0; $

2) $(3 + x)^2 - (x^2 + 3^2) - 3^2 = 0; $

3) $0,5 (0,5 + 2x) + x^2 - 10 - (x^2 + 0,25) = 0; $

4) $x \left(x + 1 \frac{1}{3}\right) + \frac{4}{9} - \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{9} + x^2\right) = 0. $

1) В уравнении $(x + 2)^2 - (x^2 + 2^2) - 2^3 = 0$ раскроем скобки и вычислим степени. Для $(x + 2)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Также $2^2=4$ и $2^3=8$.
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - (x^2 + 4) - 8 = 0$
$x^2 + 4x + 4 - x^2 - 4 - 8 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 4x + (4 - 4 - 8) = 0$
$4x - 8 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$4x = 8$
$x = \frac{8}{4}$
$x = 2$
Ответ: $2$.

2) В уравнении $(3 + x)^2 - (x^2 + 3^2) - 3^2 = 0$ раскроем скобки и вычислим степени: $3^2=9$.
$(3^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + x^2) - (x^2 + 9) - 9 = 0$
$9 + 6x + x^2 - x^2 - 9 - 9 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 6x + (9 - 9 - 9) = 0$
$6x - 9 = 0$
Решим уравнение:
$6x = 9$
$x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: $1,5$.

3) В уравнении $0,5(0,5 + 2x) + x^2 - 10 - (x^2 + 0,25) = 0$ раскроем скобки.
$0,5 \cdot 0,5 + 0,5 \cdot 2x + x^2 - 10 - x^2 - 0,25 = 0$
$0,25 + x + x^2 - 10 - x^2 - 0,25 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + x + (0,25 - 0,25 - 10) = 0$
$x - 10 = 0$
Решим уравнение:
$x = 10$
Ответ: $10$.

4) В уравнении $x\left(x + 1\frac{1}{3}\right) + \frac{4}{9} - \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{9} + x^2\right) = 0$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$x\left(x + \frac{4}{3}\right) + \frac{4}{9} - \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{9} + x^2\right) = 0$
Теперь раскроем все скобки:
$x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{3}{4} - \frac{4}{9} - x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + \frac{4}{3}x + \left(\frac{4}{9} - \frac{4}{9}\right) - \frac{3}{4} = 0$
$\frac{4}{3}x - \frac{3}{4} = 0$
Решим полученное уравнение:
$\frac{4}{3}x = \frac{3}{4}$
$x = \frac{3}{4} \div \frac{4}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
Ответ: $\frac{9}{16}$.

$(x - \frac{1}{2})^2 = 7 \frac{1}{4} + x^2;$

2) $2 - (\frac{1}{64} + x^2) = - (x - \frac{1}{8})^2;$

3) $27 + 25x^2 + 2.7^2 = 7.29 + 5x (5x - 5.4);$

4) $\frac{1}{49}x^2 - 7(-x - \frac{2}{7}) = -61 + (-\frac{1}{7}x)^2.$

30. 1) Дано уравнение: $(x - \frac{1}{2})^2 = 7\frac{1}{4} + x^2$.
Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = 7\frac{1}{4} + x^2$
$x^2 - x + \frac{1}{4} = 7\frac{1}{4} + x^2$
Представим смешанное число $7\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби: $7\frac{1}{4} = \frac{7 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{29}{4}$.
Получаем уравнение:
$x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{29}{4} + x^2$
Теперь вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-x + \frac{1}{4} = \frac{29}{4}$
Перенесем $\frac{1}{4}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$-x = \frac{29}{4} - \frac{1}{4}$
$-x = \frac{28}{4}$
$-x = 7$
Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $x$:
$x = -7$
Ответ: $-7$

2) Дано уравнение: $2 - (\frac{1}{64} + x^2) = -(x - \frac{1}{8})^2$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$2 - \frac{1}{64} - x^2 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{8} + (\frac{1}{8})^2)$
$2 - \frac{1}{64} - x^2 = -(x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{64})$
Раскроем скобки в правой части, изменив знаки слагаемых на противоположные:
$2 - \frac{1}{64} - x^2 = -x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{64}$
Прибавим $x^2$ и $\frac{1}{64}$ к обеим частям уравнения, чтобы упростить его:
$2 - \frac{1}{64} - x^2 + x^2 + \frac{1}{64} = -x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{64} + x^2 + \frac{1}{64}$
$2 = \frac{1}{4}x$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:
$x = 2 \cdot 4$
$x = 8$
Ответ: $8$

3) Дано уравнение: $27 + 25x^2 + 2,7^2 = 7,29 + 5x(5x - 5,4)$.
Сначала выполним вычисления в обеих частях. Возведем в квадрат $2,7$ и раскроем скобки в правой части:
$2,7^2 = 7,29$
$5x(5x - 5,4) = 5x \cdot 5x - 5x \cdot 5,4 = 25x^2 - 27x$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$27 + 25x^2 + 7,29 = 7,29 + 25x^2 - 27x$
Теперь упростим уравнение, взаимно уничтожив одинаковые слагаемые в обеих частях. Вычтем $25x^2$ и $7,29$ из обеих частей:
$27 = -27x$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-27$:
$x = \frac{27}{-27}$
$x = -1$
Ответ: $-1$

4) Дано уравнение: $\frac{1}{49}x^2 - 7(-x - \frac{2}{7}) = -61 + (-\frac{1}{7}x)^2$.
Упростим обе части уравнения. В левой части раскроем скобки, умножив $-7$ на каждый член в скобках. В правой части возведем выражение в квадрат.
$-7(-x - \frac{2}{7}) = (-7) \cdot (-x) + (-7) \cdot (-\frac{2}{7}) = 7x + 2$
$(-\frac{1}{7}x)^2 = (-\frac{1}{7})^2 \cdot x^2 = \frac{1}{49}x^2$
Подставим эти выражения обратно в уравнение:
$\frac{1}{49}x^2 + 7x + 2 = -61 + \frac{1}{49}x^2$
Вычтем $\frac{1}{49}x^2$ из обеих частей уравнения:
$7x + 2 = -61$
Перенесем 2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$7x = -61 - 2$
$7x = -63$
Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-63}{7}$
$x = -9$
Ответ: $-9$

31. 1) $x^2 - (x - 7)(x + 7) = 5 - 2(-2 - x);$

2) $121 - (11 - x)(x + 11) = 187 + x(x + 11);$

3) $x^2 - 0.3 \cdot \frac{3}{10} - x = (x + 0.3)(x - 0.3);$

4) $(x - \frac{3}{4})(x + 0.75) + \frac{3}{4}(0.75 - x) = x^2 + 1.5.$

1) $x^2 - (x - 7)(x + 7) = 5 - 2(-2 - x)$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для выражения $(x - 7)(x + 7)$.

$(x - 7)(x + 7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49$

Подставим это в исходное уравнение:

$x^2 - (x^2 - 49) = 5 - 2(-2 - x)$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:

$x^2 - x^2 + 49 = 5 + 4 + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$49 = 9 + 2x$

Перенесем 9 в левую часть с противоположным знаком:

$49 - 9 = 2x$

$40 = 2x$

Найдем $x$:

$x = \frac{40}{2}$

$x = 20$

Ответ: $20$

2) $121 - (11 - x)(x + 11) = 187 + x(x + 11)$

Выражение $(11 - x)(x + 11)$ также является разностью квадратов, $(11 - x)(11 + x) = 11^2 - x^2 = 121 - x^2$.

Подставим это в уравнение:

$121 - (121 - x^2) = 187 + x(x + 11)$

Раскроем скобки в левой и правой частях:

$121 - 121 + x^2 = 187 + x^2 + 11x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 = 187 + x^2 + 11x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую. Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$x^2 - x^2 - 11x = 187$

$-11x = 187$

Найдем $x$:

$x = \frac{187}{-11}$

$x = -17$

Ответ: $-17$

3) $x^2 - 0,3 \cdot \frac{3}{10} - x = (x + 0,3)(x - 0,3)$

В правой части уравнения применим формулу разности квадратов:

$(x + 0,3)(x - 0,3) = x^2 - (0,3)^2 = x^2 - 0,09$

В левой части преобразуем произведение $0,3 \cdot \frac{3}{10}$. Так как $0,3 = \frac{3}{10}$, то:

$0,3 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$

Подставим полученные значения в уравнение:

$x^2 - 0,09 - x = x^2 - 0,09$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$-0,09 - x = -0,09$

Прибавим $0,09$ к обеим частям уравнения:

$-x = 0$

$x = 0$

Ответ: $0$

4) $(x - \frac{3}{4})(x + 0,75) + \frac{3}{4}(0,75 - x) = x^2 + 1,5$

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,75 = \frac{3}{4}$ и $1,5 = \frac{3}{2}$.

Уравнение примет вид:

$(x - \frac{3}{4})(x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4}(\frac{3}{4} - x) = x^2 + \frac{3}{2}$

Первое слагаемое в левой части — это разность квадратов:

$(x - \frac{3}{4})(x + \frac{3}{4}) = x^2 - (\frac{3}{4})^2 = x^2 - \frac{9}{16}$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$\frac{3}{4}(\frac{3}{4} - x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{4}x = \frac{9}{16} - \frac{3}{4}x$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x^2 - \frac{9}{16}) + (\frac{9}{16} - \frac{3}{4}x) = x^2 + \frac{3}{2}$

Упростим левую часть:

$x^2 - \frac{9}{16} + \frac{9}{16} - \frac{3}{4}x = x^2 + \frac{3}{2}$

$x^2 - \frac{3}{4}x = x^2 + \frac{3}{2}$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$-\frac{3}{4}x = \frac{3}{2}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $-\frac{4}{3}$:

$x = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})$

$x = -\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = -\frac{12}{6}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

32. Решите систему уравнений графическим способом:

1) $ \begin{cases} 2,25x + 2y = 3, \\ 2x + y = 5; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x - y = 5, \\ 2x + y = 10. \end{cases} $

1) Решим систему уравнений графическим способом: $\begin{cases} 2,25x+2y=3, \\ 2x+y=5; \end{cases}$

Для этого построим графики каждого уравнения в одной системе координат. Каждый график — это прямая линия. Чтобы построить прямую, достаточно найти координаты двух любых ее точек.

Для первого уравнения $2,25x+2y=3$ выразим $y$ через $x$:
$2y = 3 - 2,25x$
$y = 1,5 - 1,125x$

Составим таблицу значений для первой прямой:

При $x=0$, $y = 1,5 - 1,125 \cdot 0 = 1,5$. Получаем точку $(0; 1,5)$.
При $x=4$, $y = 1,5 - 1,125 \cdot 4 = 1,5 - 4,5 = -3$. Получаем точку $(4; -3)$.

Для второго уравнения $2x+y=5$ выразим $y$ через $x$:
$y = 5 - 2x$

Составим таблицу значений для второй прямой:

При $x=0$, $y = 5 - 2 \cdot 0 = 5$. Получаем точку $(0; 5)$.
При $x=2$, $y = 5 - 2 \cdot 2 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Теперь построим графики этих двух прямых на координатной плоскости.

На графике видно, что прямые пересекаются в одной точке. Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений. Точка пересечения имеет координаты $(4; -3)$.

Ответ: $(4; -3)$

2) Решим систему уравнений графическим способом: $\begin{cases} 3x-y=5, \\ 2x+y=10. \end{cases}$

Построим графики каждого уравнения.

Для первого уравнения $3x-y=5$ выразим $y$ через $x$:
$-y = 5 - 3x$
$y = 3x - 5$

Составим таблицу значений:

При $x=2$, $y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.
При $x=3$, $y = 3 \cdot 3 - 5 = 4$. Получаем точку $(3; 4)$.

Для второго уравнения $2x+y=10$ выразим $y$ через $x$:
$y = 10 - 2x$

Составим таблицу значений:

При $x=2$, $y = 10 - 2 \cdot 2 = 6$. Получаем точку $(2; 6)$.
При $x=5$, $y = 10 - 2 \cdot 5 = 0$. Получаем точку $(5; 0)$.

Построим графики этих двух прямых на координатной плоскости.

Прямые пересекаются в точке с координатами $(3; 4)$. Это и есть решение системы.

Ответ: $(3; 4)$

33. Найдите два числа, если:

1) значение суммы первого числа, увеличенного в три раза, и второго числа, увеличенного в два раза, равно 62 ($3x + 2y = 62$), а значение разности первого числа, умноженного на 5, и второго числа, умноженного на 6, равно (–18) ($5x - 6y = -18$);

2) значение разности двух чисел равно 3 ($x - y = 3$), а значение их суммы равно (–7) ($x + y = -7$).

1) Обозначим первое число как $x$, а второе число как $y$.

Согласно первому условию, сумма первого числа, увеличенного в три раза ($3x$), и второго числа, увеличенного в два раза ($2y$), равна 62. Получаем первое уравнение: $3x + 2y = 62$.

Согласно второму условию, разность первого числа, умноженного на 5 ($5x$), и второго числа, умноженного на 6 ($6y$), равна -18. Получаем второе уравнение: $5x - 6y = -18$.

Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y = 62 \\ 5x - 6y = -18 \end{cases}$

Для решения системы методом сложения умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$3 \cdot (3x + 2y) = 3 \cdot 62$

$9x + 6y = 186$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(9x + 6y) + (5x - 6y) = 186 + (-18)$

$14x = 168$

$x = \frac{168}{14}$

$x = 12$

Подставим найденное значение $x = 12$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$3(12) + 2y = 62$

$36 + 2y = 62$

$2y = 62 - 36$

$2y = 26$

$y = \frac{26}{2}$

$y = 13$

Таким образом, первое число равно 12, а второе — 13.

Ответ: 12 и 13.

2) Обозначим первое число как $x$, а второе как $y$.

По условию, разность двух чисел равна 3. Это можно записать в виде уравнения: $x - y = 3$.

Также по условию, их сумма равна -7. Это дает нам второе уравнение: $x + y = -7$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = -7 \end{cases}$

Решим эту систему методом сложения, сложив левые и правые части обоих уравнений:

$(x - y) + (x + y) = 3 + (-7)$

$2x = -4$

$x = \frac{-4}{2}$

$x = -2$

Теперь подставим найденное значение $x = -2$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:

$(-2) + y = -7$

$y = -7 + 2$

$y = -5$

Следовательно, искомые числа — это -2 и -5.

Ответ: -2 и -5.