Номер 28, страница 274 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28. 1) $\left(\frac{20a}{25 - a^2} + \frac{5 - a}{a + 5}\right) : \frac{a + 5}{5} - \frac{5}{5 - a}$;

2) $\left(\frac{28c}{c^2 - 49} + \frac{c - 7}{c + 7}\right) \cdot \frac{c}{c + 7} - \frac{c}{c - 7}$.

1) Упростим выражение $(\frac{20a}{25 - a^2} + \frac{5 - a}{a + 5}) : \frac{a + 5}{5} - \frac{5}{5 - a}$ по действиям.

Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $25 - a^2$ является разностью квадратов и раскладывается на множители $(5 - a)(5 + a)$.

$\frac{20a}{25 - a^2} + \frac{5 - a}{a + 5} = \frac{20a}{(5 - a)(5 + a)} + \frac{5 - a}{5 + a}$

Общий знаменатель — $(5 - a)(5 + a)$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(5 - a)$:

$\frac{20a}{(5 - a)(5 + a)} + \frac{(5 - a)(5 - a)}{(5 + a)(5 - a)} = \frac{20a + (5 - a)^2}{(5 - a)(5 + a)}$

Раскроем квадрат в числителе: $(5 - a)^2 = 25 - 10a + a^2$.

$\frac{20a + 25 - 10a + a^2}{(5 - a)(5 + a)} = \frac{a^2 + 10a + 25}{(5 - a)(5 + a)}$

Числитель $a^2 + 10a + 25$ является полным квадратом суммы $(a + 5)^2$.

$\frac{(a + 5)^2}{(5 - a)(5 + a)} = \frac{a + 5}{5 - a}$

Теперь выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь.

$\frac{a + 5}{5 - a} : \frac{a + 5}{5} = \frac{a + 5}{5 - a} \cdot \frac{5}{a + 5}$

Сократим одинаковые множители $(a + 5)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{5 - a} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{5 - a}$

Последнее действие — вычитание.

$\frac{5}{5 - a} - \frac{5}{5 - a} = 0$

Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $(\frac{28c}{c^2 - 49} + \frac{c - 7}{c + 7}) \cdot \frac{c}{c + 7} - \frac{c}{c - 7}$ по действиям.

Сначала выполним сложение в скобках. Разложим знаменатель $c^2 - 49$ на множители по формуле разности квадратов: $(c - 7)(c + 7)$.

$\frac{28c}{c^2 - 49} + \frac{c - 7}{c + 7} = \frac{28c}{(c - 7)(c + 7)} + \frac{c - 7}{c + 7}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(c - 7)(c + 7)$. Для этого домножим вторую дробь на $(c - 7)$.

$\frac{28c}{(c - 7)(c + 7)} + \frac{(c - 7)(c - 7)}{(c + 7)(c - 7)} = \frac{28c + (c - 7)^2}{(c - 7)(c + 7)}$

Раскроем квадрат в числителе: $(c - 7)^2 = c^2 - 14c + 49$.

$\frac{28c + c^2 - 14c + 49}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{c^2 + 14c + 49}{(c - 7)(c + 7)}$

Числитель $c^2 + 14c + 49$ является полным квадратом суммы $(c + 7)^2$.

$\frac{(c + 7)^2}{(c - 7)(c + 7)} = \frac{c + 7}{c - 7}$

Теперь выполним умножение.

$\frac{c + 7}{c - 7} \cdot \frac{c}{c + 7}$

Сократим одинаковые множители $(c + 7)$:

$\frac{1}{c - 7} \cdot \frac{c}{1} = \frac{c}{c - 7}$

Последнее действие — вычитание.

$\frac{c}{c - 7} - \frac{c}{c - 7} = 0$

Ответ: $0$.