Номер 35, страница 275 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35*. Решите систему с параметром:

1)

$\begin{cases} -2x+5y-7=0, \\ px+3y-1=0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 8x-9y+4=0, \\ 4x-py+2=0. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} -2x + 5y - 7 = 0 \\ px + 3y - 1 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему в стандартном виде $a_1x + b_1y = c_1$ и $a_2x + b_2y = c_2$:

$\begin{cases} -2x + 5y = 7 \\ px + 3y = 1 \end{cases}$

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель основной матрицы коэффициентов не равен нулю.

$\Delta = \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ p & 3 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 3 - 5 \cdot p = -6 - 5p$

Система имеет единственное решение при $\Delta \neq 0$, то есть:

$-6 - 5p \neq 0 \implies 5p \neq -6 \implies p \neq -\frac{6}{5}$

Найдем решение для случая $p \neq -\frac{6}{5}$, используя метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$-2x = 7 - 5y \implies x = \frac{5y - 7}{2}$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$p(\frac{5y - 7}{2}) + 3y = 1$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$p(5y - 7) + 6y = 2$

$5py - 7p + 6y = 2$

$y(5p + 6) = 7p + 2$

$y = \frac{7p + 2}{5p + 6}$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = \frac{5(\frac{7p + 2}{5p + 6}) - 7}{2} = \frac{\frac{5(7p + 2) - 7(5p + 6)}{5p + 6}}{2} = \frac{35p + 10 - 35p - 42}{2(5p + 6)} = \frac{-32}{2(5p + 6)} = \frac{-16}{5p + 6}$

Таким образом, при $p \neq -\frac{6}{5}$ система имеет единственное решение: $(x, y) = (\frac{-16}{5p + 6}, \frac{7p + 2}{5p + 6})$.

Рассмотрим случай, когда определитель равен нулю: $\Delta = 0$, то есть $p = -\frac{6}{5}$.

Подставим это значение $p$ в исходную систему:

$\begin{cases} -2x + 5y = 7 \\ -\frac{6}{5}x + 3y = 1 \end{cases}$

Проверим соотношение коэффициентов. Для того, чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

$\frac{-2}{-6/5} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3}$

$\frac{7}{1} = 7$

Так как $\frac{5}{3} = \frac{5}{3} \neq 7$, то уравнения описывают две параллельные несовпадающие прямые. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: если $p \neq -\frac{6}{5}$, то система имеет единственное решение $x = \frac{-16}{5p + 6}$, $y = \frac{7p + 2}{5p + 6}$; если $p = -\frac{6}{5}$, то система не имеет решений.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 8x - 9y + 4 = 0 \\ 4x - py + 2 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему в стандартном виде:

$\begin{cases} 8x - 9y = -4 \\ 4x - py = -2 \end{cases}$

Найдем определитель основной матрицы коэффициентов:

$\Delta = \begin{vmatrix} 8 & -9 \\ 4 & -p \end{vmatrix} = 8 \cdot (-p) - (-9) \cdot 4 = -8p + 36$

Система имеет единственное решение при $\Delta \neq 0$:

$-8p + 36 \neq 0 \implies 8p \neq 36 \implies p \neq \frac{36}{8} \implies p \neq \frac{9}{2}$

Найдем решение для случая $p \neq \frac{9}{2}$. Умножим второе уравнение на 2:

$2(4x - py) = 2(-2) \implies 8x - 2py = -4$

Вычтем полученное уравнение из первого уравнения системы:

$(8x - 9y) - (8x - 2py) = -4 - (-4)$

$8x - 9y - 8x + 2py = 0$

$2py - 9y = 0$

$y(2p - 9) = 0$

Поскольку мы рассматриваем случай $p \neq \frac{9}{2}$, то $2p - 9 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(2p-9)$, получая $y = 0$.

Подставим $y=0$ во второе исходное уравнение:

$4x - p \cdot 0 = -2 \implies 4x = -2 \implies x = -\frac{1}{2}$

Таким образом, при $p \neq \frac{9}{2}$ система имеет единственное решение: $(x, y) = (-\frac{1}{2}, 0)$.

Рассмотрим случай, когда определитель равен нулю: $\Delta = 0$, то есть $p = \frac{9}{2}$.

Подставим это значение $p$ в систему:

$\begin{cases} 8x - 9y = -4 \\ 4x - \frac{9}{2}y = -2 \end{cases}$

Проверим соотношение коэффициентов. Для того, чтобы система имела бесконечно много решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

$\frac{8}{4} = 2$

$\frac{-9}{-9/2} = 2$

$\frac{-4}{-2} = 2$

Так как все соотношения равны 2, уравнения являются зависимыми (одно получается из другого умножением на константу). Это означает, что система имеет бесконечно много решений. Все точки, лежащие на прямой $8x - 9y = -4$, являются решениями.

Выразим $y$ через $x$ из этого уравнения:

$9y = 8x + 4 \implies y = \frac{8}{9}x + \frac{4}{9}$

Решениями являются все пары чисел вида $(t, \frac{8}{9}t + \frac{4}{9})$, где $t$ — любое действительное число.

Ответ: если $p \neq \frac{9}{2}$, то система имеет единственное решение $x = -\frac{1}{2}$, $y = 0$; если $p = \frac{9}{2}$, то система имеет бесконечно много решений вида $(t, \frac{8}{9}t + \frac{4}{9})$, где $t \in \mathbb{R}$.