Номер 31, страница 274 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31. 1) $x^2 - (x - 7)(x + 7) = 5 - 2(-2 - x);$

2) $121 - (11 - x)(x + 11) = 187 + x(x + 11);$

3) $x^2 - 0.3 \cdot \frac{3}{10} - x = (x + 0.3)(x - 0.3);$

4) $(x - \frac{3}{4})(x + 0.75) + \frac{3}{4}(0.75 - x) = x^2 + 1.5.$

1) $x^2 - (x - 7)(x + 7) = 5 - 2(-2 - x)$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для выражения $(x - 7)(x + 7)$.

$(x - 7)(x + 7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49$

Подставим это в исходное уравнение:

$x^2 - (x^2 - 49) = 5 - 2(-2 - x)$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:

$x^2 - x^2 + 49 = 5 + 4 + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$49 = 9 + 2x$

Перенесем 9 в левую часть с противоположным знаком:

$49 - 9 = 2x$

$40 = 2x$

Найдем $x$:

$x = \frac{40}{2}$

$x = 20$

Ответ: $20$

2) $121 - (11 - x)(x + 11) = 187 + x(x + 11)$

Выражение $(11 - x)(x + 11)$ также является разностью квадратов, $(11 - x)(11 + x) = 11^2 - x^2 = 121 - x^2$.

Подставим это в уравнение:

$121 - (121 - x^2) = 187 + x(x + 11)$

Раскроем скобки в левой и правой частях:

$121 - 121 + x^2 = 187 + x^2 + 11x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 = 187 + x^2 + 11x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую. Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$x^2 - x^2 - 11x = 187$

$-11x = 187$

Найдем $x$:

$x = \frac{187}{-11}$

$x = -17$

Ответ: $-17$

3) $x^2 - 0,3 \cdot \frac{3}{10} - x = (x + 0,3)(x - 0,3)$

В правой части уравнения применим формулу разности квадратов:

$(x + 0,3)(x - 0,3) = x^2 - (0,3)^2 = x^2 - 0,09$

В левой части преобразуем произведение $0,3 \cdot \frac{3}{10}$. Так как $0,3 = \frac{3}{10}$, то:

$0,3 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$

Подставим полученные значения в уравнение:

$x^2 - 0,09 - x = x^2 - 0,09$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$-0,09 - x = -0,09$

Прибавим $0,09$ к обеим частям уравнения:

$-x = 0$

$x = 0$

Ответ: $0$

4) $(x - \frac{3}{4})(x + 0,75) + \frac{3}{4}(0,75 - x) = x^2 + 1,5$

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,75 = \frac{3}{4}$ и $1,5 = \frac{3}{2}$.

Уравнение примет вид:

$(x - \frac{3}{4})(x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4}(\frac{3}{4} - x) = x^2 + \frac{3}{2}$

Первое слагаемое в левой части — это разность квадратов:

$(x - \frac{3}{4})(x + \frac{3}{4}) = x^2 - (\frac{3}{4})^2 = x^2 - \frac{9}{16}$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$\frac{3}{4}(\frac{3}{4} - x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{4}x = \frac{9}{16} - \frac{3}{4}x$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x^2 - \frac{9}{16}) + (\frac{9}{16} - \frac{3}{4}x) = x^2 + \frac{3}{2}$

Упростим левую часть:

$x^2 - \frac{9}{16} + \frac{9}{16} - \frac{3}{4}x = x^2 + \frac{3}{2}$

$x^2 - \frac{3}{4}x = x^2 + \frac{3}{2}$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$-\frac{3}{4}x = \frac{3}{2}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на $-\frac{4}{3}$:

$x = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})$

$x = -\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = -\frac{12}{6}$

$x = -2$

Ответ: $-2$