Номер 25, страница 273 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25. Если $x = \frac{2n}{n-2}$, то найдите значение выражения:

1) $ \frac{x-3}{2x+n} $;

2) $ \frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{2x} $;

3) $ \frac{3x-3}{(2-n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n} $.

Для решения всех подпунктов, подставим данное выражение для $x$ в каждую из предложенных формул и упростим.

Исходное условие: $x = \frac{2n}{n-2}$.

1) $\frac{x-3}{2x+n}$

Сначала преобразуем числитель:

$x - 3 = \frac{2n}{n-2} - 3 = \frac{2n - 3(n-2)}{n-2} = \frac{2n - 3n + 6}{n-2} = \frac{6-n}{n-2}$

Теперь преобразуем знаменатель:

$2x + n = 2 \cdot \frac{2n}{n-2} + n = \frac{4n}{n-2} + \frac{n(n-2)}{n-2} = \frac{4n + n^2 - 2n}{n-2} = \frac{n^2 + 2n}{n-2} = \frac{n(n+2)}{n-2}$

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{x-3}{2x+n} = \frac{\frac{6-n}{n-2}}{\frac{n(n+2)}{n-2}} = \frac{6-n}{n-2} \cdot \frac{n-2}{n(n+2)} = \frac{6-n}{n(n+2)}$

Ответ: $\frac{6-n}{n(n+2)}$

2) $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{2x}$

Рассмотрим первое слагаемое. Его числитель:

$2x - 4n = 2 \cdot \frac{2n}{n-2} - 4n = \frac{4n}{n-2} - \frac{4n(n-2)}{n-2} = \frac{4n - 4n^2 + 8n}{n-2} = \frac{12n - 4n^2}{n-2} = \frac{4n(3-n)}{n-2}$

Знаменатель первого слагаемого:

$x + 2n = \frac{2n}{n-2} + 2n = \frac{2n + 2n(n-2)}{n-2} = \frac{2n + 2n^2 - 4n}{n-2} = \frac{2n^2 - 2n}{n-2} = \frac{2n(n-1)}{n-2}$

Таким образом, первое слагаемое равно:

$\frac{2x-4n}{x+2n} = \frac{\frac{4n(3-n)}{n-2}}{\frac{2n(n-1)}{n-2}} = \frac{4n(3-n)}{2n(n-1)} = \frac{2(3-n)}{n-1}$

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$\frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot \frac{2n}{n-2}} = \frac{1}{\frac{4n}{n-2}} = \frac{n-2}{4n}$

Сложим оба слагаемых:

$\frac{2(3-n)}{n-1} + \frac{n-2}{4n} = \frac{4n \cdot 2(3-n) + (n-1)(n-2)}{4n(n-1)} = \frac{8n(3-n) + (n^2 - 2n - n + 2)}{4n(n-1)} = \frac{24n - 8n^2 + n^2 - 3n + 2}{4n(n-1)} = \frac{-7n^2 + 21n + 2}{4n(n-1)}$

Ответ: $\frac{-7n^2 + 21n + 2}{4n(n-1)}$

3) $\frac{3x-3}{(2-n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$

Рассмотрим уменьшаемое (первую дробь). Из исходного условия $x = \frac{2n}{n-2}$ следует, что $x(n-2) = 2n$, или $xn - 2x = 2n$. Умножив на -1, получим $2x - xn = -2n$, или $x(2-n) = -2n$.

Знаменатель первой дроби:

$(2-n)x + n = x(2-n) + n = -2n + n = -n$

Числитель первой дроби:

$3x - 3 = 3(x-1) = 3(\frac{2n}{n-2} - 1) = 3(\frac{2n - (n-2)}{n-2}) = 3 \cdot \frac{n+2}{n-2}$

Таким образом, первая дробь равна:

$\frac{3 \cdot \frac{n+2}{n-2}}{-n} = -\frac{3(n+2)}{n(n-2)}$

Теперь рассмотрим вычитаемое (вторую дробь). Числитель:

$x-3 = \frac{2n}{n-2} - 3 = \frac{2n - 3(n-2)}{n-2} = \frac{6-n}{n-2}$

Знаменатель второй дроби:

$2x-3n = 2 \cdot \frac{2n}{n-2} - 3n = \frac{4n}{n-2} - \frac{3n(n-2)}{n-2} = \frac{4n - 3n^2 + 6n}{n-2} = \frac{10n - 3n^2}{n-2} = \frac{n(10-3n)}{n-2}$

Таким образом, вторая дробь равна:

$\frac{\frac{6-n}{n-2}}{\frac{n(10-3n)}{n-2}} = \frac{6-n}{n(10-3n)}$

Теперь найдем разность двух дробей:

$-\frac{3(n+2)}{n(n-2)} - \frac{6-n}{n(10-3n)} = -\frac{1}{n} \left( \frac{3(n+2)}{n-2} + \frac{6-n}{10-3n} \right) = -\frac{1}{n} \left( \frac{3(n+2)(10-3n) + (6-n)(n-2)}{(n-2)(10-3n)} \right)$

$= -\frac{1}{n} \left( \frac{3(-3n^2+4n+20) + (-n^2+8n-12)}{(n-2)(10-3n)} \right) = -\frac{1}{n} \left( \frac{-9n^2+12n+60-n^2+8n-12}{(n-2)(10-3n)} \right)$

$= -\frac{-10n^2+20n+48}{n(n-2)(10-3n)} = \frac{10n^2-20n-48}{n(n-2)(10-3n)} = \frac{2(5n^2-10n-24)}{n(n-2)(10-3n)}$

Ответ: $\frac{2(5n^2-10n-24)}{n(n-2)(10-3n)}$