Номер 23, страница 273 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23. Докажите тождество:

$\frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} = \frac{6}{(a+1)^2} - \frac{1}{(a+1)^2}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части к одному виду.
1. Преобразуем правую часть (ПЧ):
Поскольку дроби в правой части имеют одинаковые знаменатели, мы можем выполнить вычитание их числителей:
$ \frac{6}{(a+1)^2} - \frac{1}{(a+1)^2} = \frac{6-1}{(a+1)^2} = \frac{5}{(a+1)^2} $

2. Преобразуем левую часть (ЛЧ):
$ \frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} $
Сначала разложим на множители числитель, вынеся общий множитель 5 за скобки:
$ 5a^2 - 10 = 5(a^2 - 2) $
Теперь разложим на множители знаменатель $ a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2 $. Для этого сгруппируем слагаемые следующим образом:
$ a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2 = (a^4 + 2a^3 + a^2) - 2a^2 - 4a - 2 $
В первой группе вынесем за скобки $ a^2 $, а во второй группе вынесем $ -2 $:
$ a^2(a^2 + 2a + 1) - 2(a^2 + 2a + 1) $
Теперь вынесем общий множитель $ (a^2 + 2a + 1) $ за скобки:
$ (a^2 - 2)(a^2 + 2a + 1) $
Выражение в скобках $ (a^2 + 2a + 1) $ является полным квадратом суммы $ (a+1)^2 $. Таким образом, знаменатель равен:
$ (a^2 - 2)(a+1)^2 $
Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в левую часть:
ЛЧ = $ \frac{5(a^2 - 2)}{(a^2 - 2)(a+1)^2} $
Сократим дробь на общий множитель $ (a^2 - 2) $ (это возможно при условии, что $ a^2 - 2 \neq 0 $, то есть $ a \neq \pm\sqrt{2} $):
ЛЧ = $ \frac{5}{(a+1)^2} $

3. Заключение:
Мы показали, что и левая, и правая части тождества равны одному и тому же выражению:
ЛЧ = $ \frac{5}{(a+1)^2} $
ПЧ = $ \frac{5}{(a+1)^2} $
Следовательно, ЛЧ = ПЧ, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.