Номер 24, страница 273 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{5y}{3(x - 1)} $;

2) $ \frac{25a(b - 1)}{3^2 d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^3 (b - 1)}{c^3 d} $;

3) $ \frac{28p^4}{15q^3} : \frac{5q^2 (p + 1)}{14p^2} : \frac{3p^2}{4q^4} $;

4) $ \frac{8x^3 y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2 b} : \frac{2x^2 (y + 2)}{ab} $.

1) Исходное выражение: $\frac{3x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{5y}{3(x-1)}$.

Выполняем действия в порядке их следования. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^4}{27x^5} \cdot \frac{5y}{3(x-1)}$

Теперь запишем всё в виде одной дроби, перемножив числители и знаменатели:

$\frac{3x^2 \cdot 2y^4 \cdot 5y}{5y^3 \cdot 27x^5 \cdot 3(x-1)}$

Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и степени переменных:

$\frac{(3 \cdot 2 \cdot 5) \cdot x^2 \cdot (y^4 \cdot y)}{(5 \cdot 27 \cdot 3) \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot (x-1)} = \frac{30 \cdot x^2 \cdot y^5}{405 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot (x-1)}$

Сокращаем дробь: числовой коэффициент $\frac{30}{405} = \frac{2}{27}$, степени переменных $\frac{x^2}{x^5} = \frac{1}{x^3}$ и $\frac{y^5}{y^3} = y^2$.

В результате получаем:

$\frac{2y^2}{27x^3(x-1)}$

Ответ: $\frac{2y^2}{27x^3(x-1)}$

2) Исходное выражение: $\frac{25a(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d}$.

Упростим $3^2=9$. Выражение принимает вид:

$\frac{25a(b-1)}{9d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d}$

Заменим оба знака деления на умножение на обратные дроби:

$\frac{25a(b-1)}{9d} \cdot \frac{9ab}{5cd^2} \cdot \frac{c^3d}{a^3(b-1)}$

Запишем всё в виде одной дроби:

$\frac{25a(b-1) \cdot 9ab \cdot c^3d}{9d \cdot 5cd^2 \cdot a^3(b-1)}$

Сгруппируем и сократим множители:

$\frac{(25 \cdot 9) \cdot (a \cdot a) \cdot b \cdot (b-1) \cdot c^3 \cdot d}{(9 \cdot 5) \cdot a^3 \cdot c \cdot (d \cdot d^2) \cdot (b-1)} = \frac{225 a^2 b (b-1) c^3 d}{45 a^3 c d^3 (b-1)}$

Сокращаем дробь: $\frac{225}{45}=5$, $\frac{a^2}{a^3}=\frac{1}{a}$, $\frac{b-1}{b-1}=1$, $\frac{c^3}{c}=c^2$, $\frac{d}{d^3}=\frac{1}{d^2}$.

В результате получаем:

$\frac{5bc^2}{ad^2}$

Ответ: $\frac{5bc^2}{ad^2}$

3) Исходное выражение: $\frac{28p^4}{15q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} : \frac{3p^2}{4q^4}$.

Выполняем действия по порядку. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{28p^4}{15q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} \cdot \frac{4q^4}{3p^2}$

Запишем всё в виде одной дроби:

$\frac{28p^4 \cdot 5q^2(p+1) \cdot 4q^4}{15q^3 \cdot 14p^2 \cdot 3p^2}$

Сгруппируем и сократим множители:

$\frac{(28 \cdot 5 \cdot 4) \cdot p^4 \cdot (q^2 \cdot q^4) \cdot (p+1)}{(15 \cdot 14 \cdot 3) \cdot (p^2 \cdot p^2) \cdot q^3} = \frac{560 \cdot p^4 q^6 (p+1)}{630 \cdot p^4 q^3}$

Сокращаем дробь: $\frac{560}{630} = \frac{56}{63} = \frac{8}{9}$, $\frac{p^4}{p^4}=1$, $\frac{q^6}{q^3}=q^3$.

В результате получаем:

$\frac{8q^3(p+1)}{9}$

Ответ: $\frac{8q^3(p+1)}{9}$

4) Исходное выражение: $\frac{8x^3y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2b} : \frac{2x^2(y+2)}{ab}$.

Заменим оба знака деления на умножение на обратные дроби:

$\frac{8x^3y^4}{13ab^2} \cdot \frac{13a^2b}{4xy^2} \cdot \frac{ab}{2x^2(y+2)}$

Запишем всё в виде одной дроби:

$\frac{8x^3y^4 \cdot 13a^2b \cdot ab}{13ab^2 \cdot 4xy^2 \cdot 2x^2(y+2)}$

Сгруппируем и сократим множители:

$\frac{(8 \cdot 13) \cdot x^3 \cdot y^4 \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b)}{(13 \cdot 4 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot (y+2)} = \frac{104 a^3 b^2 x^3 y^4}{104 a b^2 x^3 y^2 (y+2)}$

Сокращаем дробь: $\frac{104}{104}=1$, $\frac{a^3}{a}=a^2$, $\frac{b^2}{b^2}=1$, $\frac{x^3}{x^3}=1$, $\frac{y^4}{y^2}=y^2$.

В результате получаем:

$\frac{a^2y^2}{y+2}$

Ответ: $\frac{a^2y^2}{y+2}$