Номер 20, страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20. 1) $4 + (a + b)^2 - 7a = a(2b - 7) + (a^2 + 4 + b^2);$

2) $4t^2 + (3 - k)^2 - (2t - 7 + k) = k^2 + 2t(2t - 1) + k - 8(k - 2);$

3) $9x^2 - (3x - 2y)^2 = 2y(6x - 2y).$

1) Докажем, что данное равенство является тождеством. Для этого преобразуем левую и правую части уравнения и сравним их.
Преобразуем левую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$4 + (a + b)^2 - 7a = 4 + (a^2 + 2ab + b^2) - 7a = a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4$.
Теперь преобразуем правую часть, раскрыв скобки:
$a(2b - 7) + (a^2 + 4 + b^2) = 2ab - 7a + a^2 + 4 + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4$.
Так как после преобразований левая и правая части стали равны, исходное равенство является тождеством.
Ответ: Тождество доказано, поскольку обе части равны $a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4$.

2) Докажем, что данное равенство является тождеством, упростив обе его части.
Упростим левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, и приведем подобные слагаемые:
$4t^2 + (3 - k)^2 - (2t - 7 + k) = 4t^2 + (9 - 6k + k^2) - 2t + 7 - k = 4t^2 + k^2 - 2t - 7k + 16$.
Упростим правую часть, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$k^2 + 2t(2t - 1) + k - 8(k - 2) = k^2 + 4t^2 - 2t + k - 8k + 16 = 4t^2 + k^2 - 2t - 7k + 16$.
Поскольку в результате упрощений левая и правая части оказались равны, данное равенство является тождеством.
Ответ: Тождество доказано, поскольку обе части равны $4t^2 + k^2 - 2t - 7k + 16$.

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.
Левая часть $9x^2 - (3x - 2y)^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3x$ и $b=3x-2y$:
$9x^2 - (3x - 2y)^2 = (3x)^2 - (3x - 2y)^2 = (3x - (3x - 2y))(3x + (3x - 2y))$.
Раскроем скобки внутри каждого множителя:
$(3x - 3x + 2y)(3x + 3x - 2y) = (2y)(6x - 2y)$.
Полученное выражение $2y(6x - 2y)$ в точности совпадает с правой частью исходного уравнения. Следовательно, равенство является тождеством.
Ответ: Тождество доказано.