Номер 15, страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Докажите, что при любых значениях переменной от них не зависит значение выражения:

1) $(8ac - 4)(ac + 5) - 4ac(2ac + 9);$

2) $(15mn - 7)(12mn + 8) - 36mn(5mn + 1);$

3) $(10x^2 - 3)(9x^2 - 2) - 3x^2(30x^2 + 17) + 98x^2;$

4) $(4cd^3 - 7)^2 + 4cd^3(14 - 4cd^3).$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, нужно упростить его. Если в результате получится число, то утверждение доказано.

1) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в выражении $(8ac - 4)(ac + 5) - 4ac(2ac + 9)$.
$(8ac - 4)(ac + 5) - 4ac(2ac + 9) = (8ac \cdot ac + 8ac \cdot 5 - 4 \cdot ac - 4 \cdot 5) - (4ac \cdot 2ac + 4ac \cdot 9) = (8a^2c^2 + 40ac - 4ac - 20) - (8a^2c^2 + 36ac) = 8a^2c^2 + 36ac - 20 - 8a^2c^2 - 36ac$.
Теперь сгруппируем и сократим подобные члены:
$(8a^2c^2 - 8a^2c^2) + (36ac - 36ac) - 20 = 0 + 0 - 20 = -20$.
Значение выражения равно -20, следовательно, оно не зависит от значений переменных $a$ и $c$.
Ответ: -20.

2) Упростим выражение $(15mn - 7)(12mn + 8) - 36mn(5mn + 1)$.
$(15mn - 7)(12mn + 8) - 36mn(5mn + 1) = (15mn \cdot 12mn + 15mn \cdot 8 - 7 \cdot 12mn - 7 \cdot 8) - (36mn \cdot 5mn + 36mn \cdot 1) = (180m^2n^2 + 120mn - 84mn - 56) - (180m^2n^2 + 36mn) = 180m^2n^2 + 36mn - 56 - 180m^2n^2 - 36mn$.
Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
$(180m^2n^2 - 180m^2n^2) + (36mn - 36mn) - 56 = 0 + 0 - 56 = -56$.
Значение выражения равно -56, оно не зависит от значений переменных $m$ и $n$.
Ответ: -56.

3) Упростим выражение $(10x^2 - 3)(9x^2 - 2) - 3x^2(30x^2 + 17) + 98x^2$.
$(10x^2 \cdot 9x^2 + 10x^2 \cdot (-2) - 3 \cdot 9x^2 - 3 \cdot (-2)) - (3x^2 \cdot 30x^2 + 3x^2 \cdot 17) + 98x^2 = (90x^4 - 20x^2 - 27x^2 + 6) - (90x^4 + 51x^2) + 98x^2 = 90x^4 - 47x^2 + 6 - 90x^4 - 51x^2 + 98x^2$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(90x^4 - 90x^4) + (-47x^2 - 51x^2 + 98x^2) + 6 = 0 + (-98x^2 + 98x^2) + 6 = 0 + 0 + 6 = 6$.
Значение выражения равно 6, оно не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 6.

4) Упростим выражение $(4cd^3 - 7)^2 + 4cd^3(14 - 4cd^3)$.
Сначала раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(4cd^3)^2 - 2 \cdot 4cd^3 \cdot 7 + 7^2 = 16c^2d^6 - 56cd^3 + 49$.
Теперь раскроем вторые скобки:
$4cd^3(14 - 4cd^3) = 4cd^3 \cdot 14 - 4cd^3 \cdot 4cd^3 = 56cd^3 - 16c^2d^6$.
Сложим полученные результаты:
$(16c^2d^6 - 56cd^3 + 49) + (56cd^3 - 16c^2d^6) = 16c^2d^6 - 56cd^3 + 49 + 56cd^3 - 16c^2d^6$.
Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
$(16c^2d^6 - 16c^2d^6) + (-56cd^3 + 56cd^3) + 49 = 0 + 0 + 49 = 49$.
Значение выражения равно 49, оно не зависит от значений переменных $c$ и $d$.
Ответ: 49.