Номер 11, страница 271 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (11–12):

11.

1) $(a - 5)^2 + (a + 7)(5 - a) + 8a;$

2) $-73 + (6 + a)^2 + (9 - a)(a + 4);$

3) $(3a - 4)(9a + 8) - (2 - 27a)(16 - a).$

1) Для упрощения выражения $(a - 5)^2 + (a + 7)(5 - a) + 8a$ выполним следующие действия:
1. Раскроем квадрат разности $(a - 5)^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a - 5)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 - 10a + 25$
2. Раскроем скобки в произведении $(a + 7)(5 - a)$:
$(a + 7)(5 - a) = a \cdot 5 + a \cdot (-a) + 7 \cdot 5 + 7 \cdot (-a) = 5a - a^2 + 35 - 7a$
Приведем подобные слагаемые в этом произведении: $5a - 7a = -2a$. Получим $-a^2 - 2a + 35$.
3. Подставим полученные выражения в исходное и прибавим $8a$:
$(a^2 - 10a + 25) + (-a^2 - 2a + 35) + 8a$
4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-10a - 2a + 8a) + (25 + 35) = 0a^2 - 4a + 60 = -4a + 60$
Ответ: $-4a + 60$.

2) Для упрощения выражения $-73 + (6 + a)^2 + (9 - a)(a + 4)$ выполним следующие действия:
1. Раскроем квадрат суммы $(6 + a)^2$ по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(6 + a)^2 = 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot a + a^2 = 36 + 12a + a^2$
2. Раскроем скобки в произведении $(9 - a)(a + 4)$:
$(9 - a)(a + 4) = 9 \cdot a + 9 \cdot 4 - a \cdot a - a \cdot 4 = 9a + 36 - a^2 - 4a$
Приведем подобные слагаемые в этом произведении: $9a - 4a = 5a$. Получим $-a^2 + 5a + 36$.
3. Подставим полученные выражения в исходное:
$-73 + (36 + 12a + a^2) + (-a^2 + 5a + 36)$
4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (12a + 5a) + (-73 + 36 + 36) = 0a^2 + 17a - 1 = 17a - 1$
Ответ: $17a - 1$.

3) Для упрощения выражения $(3a - 4)(9a + 8) - (2 - 27a)(16 - a)$ выполним следующие действия:
1. Раскроем скобки в первом произведении $(3a - 4)(9a + 8)$:
$(3a - 4)(9a + 8) = 3a \cdot 9a + 3a \cdot 8 - 4 \cdot 9a - 4 \cdot 8 = 27a^2 + 24a - 36a - 32$
Приведем подобные слагаемые: $24a - 36a = -12a$. Получим $27a^2 - 12a - 32$.
2. Раскроем скобки во втором произведении $(2 - 27a)(16 - a)$:
$(2 - 27a)(16 - a) = 2 \cdot 16 + 2 \cdot (-a) - 27a \cdot 16 - 27a \cdot (-a) = 32 - 2a - 432a + 27a^2$
Приведем подобные слагаемые: $-2a - 432a = -434a$. Получим $27a^2 - 434a + 32$.
3. Подставим полученные выражения в исходное. Обратим внимание на знак минус перед вторыми скобками, который изменит все знаки внутри них на противоположные:
$(27a^2 - 12a - 32) - (27a^2 - 434a + 32) = 27a^2 - 12a - 32 - 27a^2 + 434a - 32$
4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(27a^2 - 27a^2) + (-12a + 434a) + (-32 - 32) = 0a^2 + 422a - 64 = 422a - 64$
Ответ: $422a - 64$.