Номер 4, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. 1) $\frac{8^3 \cdot (11^3)^5}{121^7 \cdot 4^{19}};$

2) $\frac{81^{10} \cdot 169^5}{(13^3)^3 \cdot 27^{13}};$

3) $\frac{49^{25} \cdot 625^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3};$

4) $\frac{216^8 \cdot 125^7}{625^5 \cdot (6^5)^4};$

5) $\frac{(\frac{1}{2})^2 \cdot 32^2 \cdot 1000 \cdot 5^3}{4^7 \cdot 0.001 \cdot 25^4};$

6) $\frac{(\frac{1}{3})^4 \cdot 9^2 + (\frac{1}{4})^3 \cdot 2^6}{(\frac{1}{11})^2 \cdot 363 - (\frac{1}{12})^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4}.$

1) Для упрощения выражения представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $8 = 2^3$, $121 = 11^2$, $4 = 2^2$. Подставим эти значения в исходное выражение: $\frac{8^3 \cdot (11^3)^5}{121^7 \cdot 4^{19}} = \frac{(2^3)^3 \cdot (11^3)^5}{(11^2)^7 \cdot (2^2)^{19}}$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{2^{3 \cdot 3} \cdot 11^{3 \cdot 5}}{11^{2 \cdot 7} \cdot 2^{2 \cdot 19}} = \frac{2^9 \cdot 11^{15}}{11^{14} \cdot 2^{38}}$.
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $2^{9-38} \cdot 11^{15-14} = 2^{-29} \cdot 11^1 = \frac{11}{2^{29}}$.
Ответ: $\frac{11}{2^{29}}$.

2) Представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $81 = 3^4$, $169 = 13^2$, $27 = 3^3$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{81^{10} \cdot 169^5}{(13^3)^3 \cdot 27^{13}} = \frac{(3^4)^{10} \cdot (13^2)^5}{(13^3)^3 \cdot (3^3)^{13}}$.
Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{3^{4 \cdot 10} \cdot 13^{2 \cdot 5}}{13^{3 \cdot 3} \cdot 3^{3 \cdot 13}} = \frac{3^{40} \cdot 13^{10}}{13^9 \cdot 3^{39}}$.
Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $3^{40-39} \cdot 13^{10-9} = 3^1 \cdot 13^1 = 39$.
Ответ: $39$.

3) Представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $49 = 7^2$, $625 = 5^4$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{49^{25} \cdot 625^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3} = \frac{(7^2)^{25} \cdot (5^4)^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3}$.
Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{7^{2 \cdot 25} \cdot 5^{4 \cdot 15}}{5^{12 \cdot 5} \cdot 7^{16 \cdot 3}} = \frac{7^{50} \cdot 5^{60}}{5^{60} \cdot 7^{48}}$.
Сгруппируем степени и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $7^{50-48} \cdot 5^{60-60} = 7^2 \cdot 5^0 = 49 \cdot 1 = 49$.
Ответ: $49$.

4) Представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $216 = 6^3$, $125 = 5^3$, $625 = 5^4$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{216^8 \cdot 125^7}{625^5 \cdot (6^5)^4} = \frac{(6^3)^8 \cdot (5^3)^7}{(5^4)^5 \cdot (6^5)^4}$.
Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{6^{3 \cdot 8} \cdot 5^{3 \cdot 7}}{5^{4 \cdot 5} \cdot 6^{5 \cdot 4}} = \frac{6^{24} \cdot 5^{21}}{5^{20} \cdot 6^{20}}$.
Сгруппируем степени и применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $6^{24-20} \cdot 5^{21-20} = 6^4 \cdot 5^1 = 1296 \cdot 5 = 6480$.
Ответ: $6480$.

5) Преобразуем все числа в выражении к степеням простых чисел и десяти: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, $32 = 2^5$, $1000 = 10^3$, $4 = 2^2$, $0.001 = 10^{-3}$, $25 = 5^2$.
Выражение примет вид: $\frac{(\frac{1}{2})^2 \cdot 32^2 \cdot 1000 \cdot 5^3}{4^7 \cdot 0,001 \cdot 25^4} = \frac{(2^{-1})^2 \cdot (2^5)^2 \cdot 10^3 \cdot 5^3}{(2^2)^7 \cdot 10^{-3} \cdot (5^2)^4} = \frac{2^{-2} \cdot 2^{10} \cdot 10^3 \cdot 5^3}{2^{14} \cdot 10^{-3} \cdot 5^8}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $(\frac{2^{-2} \cdot 2^{10}}{2^{14}}) \cdot (\frac{5^3}{5^8}) \cdot (\frac{10^3}{10^{-3}})$.
Применим свойства степеней: $2^{-2+10-14} \cdot 5^{3-8} \cdot 10^{3-(-3)} = 2^{-6} \cdot 5^{-5} \cdot 10^6$.
Так как $10 = 2 \cdot 5$, то $10^6 = (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6$. Подставим это в выражение: $2^{-6} \cdot 5^{-5} \cdot 2^6 \cdot 5^6 = (2^{-6} \cdot 2^6) \cdot (5^{-5} \cdot 5^6) = 2^{-6+6} \cdot 5^{-5+6} = 2^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5$.
Ответ: $5$.

6) Данное выражение является дробью. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $(\frac{1}{3})^4 \cdot 9^2 + (\frac{1}{4})^3 \cdot 2^6$. Упростим первое слагаемое: $(\frac{1}{3})^4 \cdot 9^2 = (3^{-1})^4 \cdot (3^2)^2 = 3^{-4} \cdot 3^4 = 3^{-4+4} = 3^0 = 1$. Упростим второе слагаемое: $(\frac{1}{4})^3 \cdot 2^6 = (\frac{1}{2^2})^3 \cdot 2^6 = (2^{-2})^3 \cdot 2^6 = 2^{-6} \cdot 2^6 = 2^{-6+6} = 2^0 = 1$. Значение числителя: $1 + 1 = 2$.
Знаменатель: $(\frac{1}{11})^2 \cdot 363 - (\frac{1}{12})^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4$. Упростим первое слагаемое: $(\frac{1}{11})^2 \cdot 363 = \frac{1}{121} \cdot 363 = \frac{363}{121} = 3$. Упростим второе слагаемое: $(\frac{1}{12})^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4 = \frac{1}{(3 \cdot 2^2)^2} \cdot 3^2 \cdot 2^4 = \frac{1}{3^2 \cdot 2^4} \cdot 3^2 \cdot 2^4 = 1$. Значение знаменателя: $3 - 1 = 2$.
Теперь найдем значение всей дроби: $\frac{Числитель}{Знаменатель} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $1$.