Номер 2, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. 1) $ \frac{4^8 \cdot 12^7 \cdot 9^3}{6^{12} \cdot 16^4} $;

2) $ \frac{21^8 \cdot 27^5 \cdot 49^6}{9^{11} \cdot 343^7} $;

3) $ \frac{25^{11} \cdot 81^4}{625^4 \cdot 15^5 \cdot 9^6} $;

4) $ \frac{32^9 \cdot 125^8}{8^{13} \cdot 10^7 \cdot 25^8} $.

1) Для решения данной задачи представим все основания степеней в виде произведения простых чисел и воспользуемся свойствами степеней.
Исходное выражение: $ \frac{4^8 \cdot 12^7 \cdot 9^3}{6^{12} \cdot 16^4} $.
Разложим основания на простые множители:
$ 4 = 2^2 $
$ 12 = 2^2 \cdot 3 $
$ 9 = 3^2 $
$ 6 = 2 \cdot 3 $
$ 16 = 2^4 $
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$ \frac{(2^2)^8 \cdot (2^2 \cdot 3)^7 \cdot (3^2)^3}{(2 \cdot 3)^{12} \cdot (2^4)^4} $
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
$ \frac{2^{16} \cdot (2^2)^7 \cdot 3^7 \cdot 3^6}{2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 2^{16}} = \frac{2^{16} \cdot 2^{14} \cdot 3^7 \cdot 3^6}{2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 2^{16}} $
Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя и знаменателя:
$ \frac{2^{16+14} \cdot 3^{7+6}}{2^{12+16} \cdot 3^{12}} = \frac{2^{30} \cdot 3^{13}}{2^{28} \cdot 3^{12}} $
Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$ 2^{30-28} \cdot 3^{13-12} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 $.
Ответ: $12$.

2) Решим выражение $ \frac{21^8 \cdot 27^5 \cdot 49^6}{9^{11} \cdot 343^7} $.
Разложим основания на простые множители:
$ 21 = 3 \cdot 7 $
$ 27 = 3^3 $
$ 49 = 7^2 $
$ 9 = 3^2 $
$ 343 = 7^3 $
Подставим в выражение:
$ \frac{(3 \cdot 7)^8 \cdot (3^3)^5 \cdot (7^2)^6}{(3^2)^{11} \cdot (7^3)^7} $
Используем свойства степеней:
$ \frac{3^8 \cdot 7^8 \cdot 3^{15} \cdot 7^{12}}{3^{22} \cdot 7^{21}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе:
$ \frac{3^{8+15} \cdot 7^{8+12}}{3^{22} \cdot 7^{21}} = \frac{3^{23} \cdot 7^{20}}{3^{22} \cdot 7^{21}} $
Выполним деление степеней:
$ 3^{23-22} \cdot 7^{20-21} = 3^1 \cdot 7^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7} $.
Ответ: $ \frac{3}{7} $.

3) Решим выражение $ \frac{25^{11} \cdot 81^4}{625^4 \cdot 15^5 \cdot 9^6} $.
Разложим основания на простые множители:
$ 25 = 5^2 $
$ 81 = 3^4 $
$ 625 = 5^4 $
$ 15 = 3 \cdot 5 $
$ 9 = 3^2 $
Подставим в выражение:
$ \frac{(5^2)^{11} \cdot (3^4)^4}{(5^4)^4 \cdot (3 \cdot 5)^5 \cdot (3^2)^6} $
Используем свойства степеней:
$ \frac{5^{22} \cdot 3^{16}}{5^{16} \cdot 3^5 \cdot 5^5 \cdot 3^{12}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в знаменателе:
$ \frac{5^{22} \cdot 3^{16}}{5^{16+5} \cdot 3^{5+12}} = \frac{5^{22} \cdot 3^{16}}{5^{21} \cdot 3^{17}} $
Выполним деление степеней:
$ 5^{22-21} \cdot 3^{16-17} = 5^1 \cdot 3^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} $.
Ответ: $ \frac{5}{3} $.

4) Решим выражение $ \frac{32^9 \cdot 125^8}{8^{13} \cdot 10^7 \cdot 25^8} $.
Разложим основания на простые множители:
$ 32 = 2^5 $
$ 125 = 5^3 $
$ 8 = 2^3 $
$ 10 = 2 \cdot 5 $
$ 25 = 5^2 $
Подставим в выражение:
$ \frac{(2^5)^9 \cdot (5^3)^8}{(2^3)^{13} \cdot (2 \cdot 5)^7 \cdot (5^2)^8} $
Используем свойства степеней:
$ \frac{2^{45} \cdot 5^{24}}{2^{39} \cdot 2^7 \cdot 5^7 \cdot 5^{16}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в знаменателе:
$ \frac{2^{45} \cdot 5^{24}}{2^{39+7} \cdot 5^{7+16}} = \frac{2^{45} \cdot 5^{24}}{2^{46} \cdot 5^{23}} $
Выполним деление степеней:
$ 2^{45-46} \cdot 5^{24-23} = 2^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} $.
Ответ: $ \frac{5}{2} $.