Номер 41.22, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.22. Если $a + c = 4$ и $ac = 2$, то найдите значение выражения

$(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c})^4 + (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}) \cdot \frac{1}{2ac}$

Для нахождения значения выражения, мы будем упрощать его по частям, используя данные нам значения $a+c=4$ и $ac=2$.

Исходное выражение:

$ \left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c}\right)^4 + \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}\right) \cdot \frac{1}{2ac} $

1. Упростим первое слагаемое: $ \left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c}\right)^4 $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = \frac{c}{2ac} + \frac{a}{2ac} = \frac{a+c}{2ac} $

Теперь подставим известные значения $a+c=4$ и $ac=2$ в полученное выражение:

$ \frac{a+c}{2ac} = \frac{4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $

Таким образом, первое слагаемое равно:

$ (1)^4 = 1 $

2. Упростим второе слагаемое: $ \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}\right) \cdot \frac{1}{2ac} $

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю:

$ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{c^2}{a^2c^2} + \frac{a^2}{a^2c^2} = \frac{a^2+c^2}{(ac)^2} $

Чтобы найти значение $a^2+c^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+c)^2 = a^2+2ac+c^2$. Отсюда выразим $a^2+c^2$:

$ a^2+c^2 = (a+c)^2 - 2ac $

Подставим известные значения $a+c=4$ и $ac=2$:

$ a^2+c^2 = (4)^2 - 2 \cdot 2 = 16 - 4 = 12 $

Теперь подставим найденное значение $a^2+c^2=12$ и известное $ac=2$ в выражение для суммы дробей:

$ \frac{a^2+c^2}{(ac)^2} = \frac{12}{2^2} = \frac{12}{4} = 3 $

Теперь мы можем вычислить все второе слагаемое:

$ 3 \cdot \frac{1}{2ac} = 3 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

3. Найдем сумму результатов

Сложим значения первого и второго слагаемых:

$ 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} $

Значение выражения можно также представить в виде десятичной дроби: $1.75$.

Ответ: $ \frac{7}{4} $