Номер 41.16, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.16. Докажите тождество:

1) $\frac{2x - q}{xq} - \frac{1}{x + q} \cdot \left(\frac{x}{q} - \frac{q}{x}\right) = \frac{1}{q}$

2) $\frac{1,2a^2 - ac}{0,36a^2 - 0,25c^2} = \frac{20a}{6a + 5c}$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Цель — показать, что она равна правой части, то есть $\frac{1}{q}$.
Первым шагом упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xq$:
$\frac{x}{q} - \frac{q}{x} = \frac{x \cdot x}{xq} - \frac{q \cdot q}{xq} = \frac{x^2 - q^2}{xq}$
Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:
$\frac{2x - q}{xq} - \frac{1}{x+q} \cdot \frac{x^2 - q^2}{xq}$
Числитель $x^2 - q^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - q^2 = (x - q)(x + q)$.
$\frac{2x - q}{xq} - \frac{1}{x+q} \cdot \frac{(x - q)(x + q)}{xq}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+q)$:
$\frac{2x - q}{xq} - \frac{x - q}{xq}$
Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем их вычесть:
$\frac{(2x - q) - (x - q)}{xq} = \frac{2x - q - x + q}{xq} = \frac{x}{xq}$
Сократим полученную дробь на $x$:
$\frac{x}{xq} = \frac{1}{q}$
Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, стоящее в правой части. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, чтобы она стала равна правой: $\frac{20a}{6a + 5c}$.
Начнем с преобразования числителя и знаменателя левой части.
В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$1.2a^2 - ac = a(1.2a - c)$
Знаменатель представляет собой разность квадратов, так как $0.36a^2 = (0.6a)^2$ и $0.25c^2 = (0.5c)^2$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$0.36a^2 - 0.25c^2 = (0.6a - 0.5c)(0.6a + 0.5c)$
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{a(1.2a - c)}{(0.6a - 0.5c)(0.6a + 0.5c)}$
Заметим, что выражение в скобках в числителе, $1.2a - c$, можно представить как $2(0.6a - 0.5c)$. Сделаем эту подстановку:
$\frac{a \cdot 2(0.6a - 0.5c)}{(0.6a - 0.5c)(0.6a + 0.5c)}$
Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(0.6a - 0.5c)$:
$\frac{2a}{0.6a + 0.5c}$
Чтобы избавиться от десятичных дробей в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{2a \cdot 10}{(0.6a + 0.5c) \cdot 10} = \frac{20a}{10 \cdot 0.6a + 10 \cdot 0.5c} = \frac{20a}{6a + 5c}$
В результате преобразований левая часть стала равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.