Номер 41.11, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.11. Представьте в виде алгебраической дроби выражение:

1) $\frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3(x - 1)};$

2) $\frac{5a(b - 1)}{3^2d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^2(b - 1)}{c^3d};$

3) $\frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q^2(p + 1)}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4};$

4) $\frac{8x^2y^3}{7ab^2} : \frac{14xy^2}{7a^2b} : \frac{2x^2(y + 2)}{ab}.$

1) Чтобы представить выражение в виде алгебраической дроби, выполним действия по порядку: сначала деление, затем умножение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3(x-1)} = (\frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^2}{9x^3}) \cdot \frac{5y}{3(x-1)} $

Теперь объединим все в одну дробь, перемножив числители и знаменатели:

$ \frac{3x^2 \cdot 2y^2 \cdot 5y}{5y^3 \cdot 9x^3 \cdot 3(x-1)} = \frac{(3 \cdot 2 \cdot 5) \cdot x^2 \cdot (y^2 \cdot y)}{(5 \cdot 9 \cdot 3) \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot (x-1)} = \frac{30x^2y^3}{135x^3y^3(x-1)} $

Сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты: $ \frac{30}{135} = \frac{2 \cdot 15}{9 \cdot 15} = \frac{2}{9} $. Сокращаем переменные: $ \frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x} $ и $ \frac{y^3}{y^3} = 1 $.

$ \frac{30x^2y^3}{135x^3y^3(x-1)} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{9 \cdot x \cdot 1 \cdot (x-1)} = \frac{2}{9x(x-1)} $

Ответ: $ \frac{2}{9x(x-1)} $

2) Выполним деление последовательно слева направо. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь. Обратим внимание, что $ 3^2 = 9 $.

$ \frac{5a(b-1)}{9d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^2(b-1)}{c^3d} = (\frac{5a(b-1)}{9d} \cdot \frac{9ab}{5cd^2}) : \frac{a^2(b-1)}{c^3d} $

Сначала упростим выражение в скобках. Сокращаем $ 5 $, $ 9 $ и перемножаем оставшиеся члены:

$ \frac{a(b-1) \cdot ab}{d \cdot cd^2} = \frac{a^2b(b-1)}{cd^3} $

Теперь выполним второе деление:

$ \frac{a^2b(b-1)}{cd^3} : \frac{a^2(b-1)}{c^3d} = \frac{a^2b(b-1)}{cd^3} \cdot \frac{c^3d}{a^2(b-1)} $

Объединим в одну дробь и сократим общие множители $ a^2 $, $ (b-1) $, $ c $ и $ d $:

$ \frac{a^2 \cdot b \cdot (b-1) \cdot c^3 \cdot d}{c \cdot d^3 \cdot a^2 \cdot (b-1)} = \frac{b \cdot c^{3-1}}{d^{3-1}} = \frac{bc^2}{d^2} $

Ответ: $ \frac{bc^2}{d^2} $

3) Выполним действия по порядку: сначала умножение, затем деление.

$ \frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4} = (\frac{7p^4 \cdot 5q^2(p+1)}{10q^3 \cdot 14p^2}) : \frac{3p}{4q^4} $

Упростим выражение в скобках. Сократим числовые коэффициенты $ \frac{7 \cdot 5}{10 \cdot 14} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4} $. Сократим переменные $ \frac{p^4}{p^2} = p^2 $ и $ \frac{q^2}{q^3} = \frac{1}{q} $:

$ \frac{1 \cdot p^2 \cdot (p+1)}{4 \cdot q} = \frac{p^2(p+1)}{4q} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{p^2(p+1)}{4q} : \frac{3p}{4q^4} = \frac{p^2(p+1)}{4q} \cdot \frac{4q^4}{3p} $

Объединим в одну дробь и сократим общие множители $ 4 $, $ p $ и $ q $:

$ \frac{p^2 \cdot (p+1) \cdot 4 \cdot q^4}{4 \cdot q \cdot 3 \cdot p} = \frac{p^{2-1} \cdot (p+1) \cdot q^{4-1}}{3} = \frac{pq^3(p+1)}{3} $

Ответ: $ \frac{pq^3(p+1)}{3} $

4) Выполним деление последовательно слева направо.

$ \frac{8x^2y^3}{7ab^2} : \frac{14xy^2}{7a^2b} : \frac{2x^2(y+2)}{ab} $

Первое деление:

$ \frac{8x^2y^3}{7ab^2} : \frac{14xy^2}{7a^2b} = \frac{8x^2y^3}{7ab^2} \cdot \frac{7a^2b}{14xy^2} = \frac{8 \cdot 7 \cdot x^2y^3a^2b}{7 \cdot 14 \cdot ab^2xy^2} $

Сокращаем дробь: $ \frac{8}{14} = \frac{4}{7} $, $ \frac{x^2}{x} = x $, $ \frac{y^3}{y^2} = y $, $ \frac{a^2}{a} = a $, $ \frac{b}{b^2} = \frac{1}{b} $.

Результат первого действия: $ \frac{4axy}{7b} $.

Теперь выполним второе деление:

$ \frac{4axy}{7b} : \frac{2x^2(y+2)}{ab} = \frac{4axy}{7b} \cdot \frac{ab}{2x^2(y+2)} = \frac{4a^2bxy}{14bx^2(y+2)} $

Сокращаем полученную дробь: $ \frac{4}{14} = \frac{2}{7} $, $ \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} $, $ \frac{b}{b} = 1 $.

$ \frac{2a^2y}{7x(y+2)} $

Ответ: $ \frac{2a^2y}{7x(y+2)} $