Номер 41.13, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.13. Сравните значения выражений $(a - \frac{4ab}{a + b} + b) : (a - b)$ и

$\frac{a}{a + b} - \frac{b}{b - a} = \frac{2ab}{a^2 - b^2}$ при $a = 3, b = -4$.

Для того чтобы сравнить значения выражений, мы сначала упростим каждое из них, а затем подставим заданные числовые значения $a=3$ и $b=-4$.

$\left(a - \frac{4ab}{a+b} + b\right) : (a-b)$

Сначала упростим выражение. Сгруппируем слагаемые $a$ и $b$ и выполним действия в скобках, приведя их к общему знаменателю:
$a - \frac{4ab}{a+b} + b = (a+b) - \frac{4ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{a+b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{a+b} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a+b} = \frac{(a-b)^2}{a+b}$
Теперь выполним деление:
$\frac{(a-b)^2}{a+b} : (a-b) = \frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b}{a+b}$
Подставим значения $a=3$ и $b=-4$ в упрощенное выражение:
$\frac{3 - (-4)}{3 + (-4)} = \frac{3+4}{3-4} = \frac{7}{-1} = -7$

$\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a}$

(Примечание: в условии задачи после этого выражения стоит знак равенства и выражение $\frac{2ab}{a^2-b^2}$. Это равенство не является тождеством и не выполняется при заданных значениях переменных, поэтому будем вычислять значение выражения $\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a}$).
Упростим данное выражение. Для этого изменим знак в знаменателе второй дроби: $b-a = -(a-b)$.
$\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a} = \frac{a}{a+b} - \frac{b}{-(a-b)} = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$\frac{a(a-b) + b(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 - ab + ab + b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$
Подставим значения $a=3$ и $b=-4$ в упрощенное выражение:
$\frac{3^2 + (-4)^2}{3^2 - (-4)^2} = \frac{9 + 16}{9 - 16} = \frac{25}{-7} = -\frac{25}{7}$

Сравнение значений
Мы получили, что значение первого выражения равно $-7$, а значение второго выражения равно $-\frac{25}{7}$.
Для сравнения этих чисел, представим $-7$ в виде дроби со знаменателем 7:
$-7 = -\frac{7 \cdot 7}{7} = -\frac{49}{7}$
Теперь сравним дроби $-\frac{49}{7}$ и $-\frac{25}{7}$.
Поскольку $49 > 25$, то для отрицательных чисел будет верно обратное неравенство: $-49 < -25$.
Следовательно, $-\frac{49}{7} < -\frac{25}{7}$, что равносильно $-7 < -\frac{25}{7}$.
Таким образом, значение первого выражения меньше значения второго выражения.
Ответ: Значение выражения $\left(a - \frac{4ab}{a+b} + b\right) : (a-b)$ меньше, чем значение выражения $\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a}$.