Номер 41.10, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.10. Решите уравнение:

1) $(c^2 - 9) \cdot x = 2c + 6;$

2) $\frac{x}{(c + 2)^2} = \frac{3}{c^2 - 4};$

3) $\frac{4x}{(c + 1)^2} = \frac{3c}{c^2 - 1};$

4) $\frac{x - 3}{(c - 4)^2} = \frac{2,4}{16 - c^2}.$

1) $(c^2 - 9) \cdot x = 2c + 6$

Это линейное уравнение относительно переменной $x$. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $(c^2 - 9)$. Рассмотрим случаи, когда этот коэффициент равен нулю и когда не равен.

Коэффициент при $x$ равен $c^2 - 9 = (c - 3)(c + 3)$. Он обращается в ноль при $c = 3$ и $c = -3$.

Случай 1: $c \neq 3$ и $c \neq -3$.

В этом случае $c^2 - 9 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на это выражение:

$x = \frac{2c + 6}{c^2 - 9}$

Упростим полученное выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:

$x = \frac{2(c + 3)}{(c - 3)(c + 3)}$

Так как $c \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(c + 3)$:

$x = \frac{2}{c - 3}$

Случай 2: $c = 3$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$(3^2 - 9) \cdot x = 2(3) + 6$

$0 \cdot x = 12$

Это уравнение не имеет решений.

Случай 3: $c = -3$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$((-3)^2 - 9) \cdot x = 2(-3) + 6$

$(9 - 9) \cdot x = -6 + 6$

$0 \cdot x = 0$

Это уравнение верно при любом значении $x$.

Ответ: если $c \neq 3$ и $c \neq -3$, то $x = \frac{2}{c - 3}$; если $c = 3$, то корней нет; если $c = -3$, то $x$ — любое число.

2) $\frac{x}{(c + 2)^2} = \frac{3}{c^2 - 4}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $c$. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

$(c + 2)^2 \neq 0 \implies c + 2 \neq 0 \implies c \neq -2$.

$c^2 - 4 \neq 0 \implies (c - 2)(c + 2) \neq 0 \implies c \neq 2$ и $c \neq -2$.

Следовательно, уравнение имеет смысл при $c \neq 2$ и $c \neq -2$.

Чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на $(c + 2)^2$ (это возможно, так как $c \neq -2$):

$x = \frac{3 \cdot (c + 2)^2}{c^2 - 4}$

Упростим выражение, разложив знаменатель на множители:

$x = \frac{3 \cdot (c + 2)^2}{(c - 2)(c + 2)}$

Так как $c \neq -2$, сократим дробь на $(c + 2)$:

$x = \frac{3(c + 2)}{c - 2}$

Если $c = 2$ или $c = -2$, исходное уравнение не определено, следовательно, решений не имеет.

Ответ: при $c \neq 2$ и $c \neq -2$, $x = \frac{3(c + 2)}{c - 2}$; при $c = 2$ или $c = -2$ корней нет.

3) $\frac{4x}{(c + 1)^2} = \frac{3c}{c^2 - 1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $c$. Знаменатели не могут быть равны нулю.

$(c + 1)^2 \neq 0 \implies c \neq -1$.

$c^2 - 1 \neq 0 \implies (c - 1)(c + 1) \neq 0 \implies c \neq 1$ и $c \neq -1$.

Таким образом, уравнение определено при $c \neq 1$ и $c \neq -1$.

Выразим $x$. Для этого умножим обе части уравнения на $\frac{(c+1)^2}{4}$ (это возможно, так как $c \neq -1$):

$x = \frac{3c}{c^2 - 1} \cdot \frac{(c + 1)^2}{4}$

Упростим полученное выражение. Разложим $c^2-1$ на множители:

$x = \frac{3c \cdot (c + 1)^2}{4(c - 1)(c + 1)}$

Так как $c \neq -1$, сократим дробь на $(c + 1)$:

$x = \frac{3c(c + 1)}{4(c - 1)}$

Если $c = 1$ или $c = -1$, исходное уравнение не определено и решений не имеет.

Ответ: при $c \neq 1$ и $c \neq -1$, $x = \frac{3c(c + 1)}{4(c - 1)}$; при $c = 1$ или $c = -1$ корней нет.

4) $\frac{x - 3}{(c - 4)^2} = \frac{2,4}{16 - c^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $c$. Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль.

$(c - 4)^2 \neq 0 \implies c \neq 4$.

$16 - c^2 \neq 0 \implies (4 - c)(4 + c) \neq 0 \implies c \neq 4$ и $c \neq -4$.

Следовательно, уравнение имеет смысл при $c \neq 4$ и $c \neq -4$.

Сначала выразим $x - 3$. Для этого умножим обе части уравнения на $(c - 4)^2$ (это возможно, так как $c \neq 4$):

$x - 3 = \frac{2,4 \cdot (c - 4)^2}{16 - c^2}$

Разложим знаменатель на множители $16 - c^2 = (4 - c)(4 + c) = -(c - 4)(c + 4)$:

$x - 3 = \frac{2,4 \cdot (c - 4)^2}{-(c - 4)(c + 4)}$

Так как $c \neq 4$, сократим дробь на $(c - 4)$:

$x - 3 = \frac{2,4(c - 4)}{-(c + 4)} = -\frac{2,4(c - 4)}{c + 4} = \frac{2,4(4 - c)}{c + 4}$

Теперь выразим $x$:

$x = 3 + \frac{2,4(4 - c)}{c + 4}$

Приведем к общему знаменателю:

$x = \frac{3(c + 4) + 2,4(4 - c)}{c + 4} = \frac{3c + 12 + 9,6 - 2,4c}{c + 4} = \frac{0,6c + 21,6}{c + 4}$

Можно вынести общий множитель $0,6$ в числителе:

$x = \frac{0,6(c + 36)}{c + 4}$

Если $c = 4$ или $c = -4$, исходное уравнение не определено, значит, решений не имеет.

Ответ: при $c \neq 4$ и $c \neq -4$, $x = \frac{0,6c + 21,6}{c + 4}$; при $c = 4$ или $c = -4$ корней нет.