Номер 41.3, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (41.3–41.4):

41.3. 1) $\frac{n^2 - 9}{2n^2 + 1} \cdot \left(\frac{6n + 1}{n - 3} + \frac{6n - 1}{n + 3}\right)$;

2) $\left(\frac{6x + y}{x - 6y} + \frac{6x - y}{x + 6y}\right) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 36y^2}$

1) Упростим выражение $ \frac{n^2 - 9}{2n^2 + 1} \cdot (\frac{6n + 1}{n - 3} + \frac{6n - 1}{n + 3}) $.
Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{6n + 1}{n - 3} $ и $ \frac{6n - 1}{n + 3} $ равен $ (n - 3)(n + 3) = n^2 - 9 $.
$ \frac{6n + 1}{n - 3} + \frac{6n - 1}{n + 3} = \frac{(6n + 1)(n + 3) + (6n - 1)(n - 3)}{(n - 3)(n + 3)} = \frac{(6n^2 + 18n + n + 3) + (6n^2 - 18n - n + 3)}{n^2 - 9} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{6n^2 + 19n + 3 + 6n^2 - 19n + 3}{n^2 - 9} = \frac{12n^2 + 6}{n^2 - 9} $
Теперь умножим результат на первую дробь:
$ \frac{n^2 - 9}{2n^2 + 1} \cdot \frac{12n^2 + 6}{n^2 - 9} $
Сократим $ (n^2 - 9) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{12n^2 + 6}{2n^2 + 1} $
Вынесем общий множитель 6 в числителе:
$ \frac{6(2n^2 + 1)}{2n^2 + 1} $
Сократим $ (2n^2 + 1) $:
$ 6 $
Ответ: $6$

2) Упростим выражение $ (\frac{6x + y}{x - 6y} + \frac{6x - y}{x + 6y}) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 36y^2} $.
Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{6x + y}{x - 6y} $ и $ \frac{6x - y}{x + 6y} $ равен $ (x - 6y)(x + 6y) = x^2 - 36y^2 $.
$ \frac{6x + y}{x - 6y} + \frac{6x - y}{x + 6y} = \frac{(6x + y)(x + 6y) + (6x - y)(x - 6y)}{(x - 6y)(x + 6y)} = \frac{(6x^2 + 36xy + xy + 6y^2) + (6x^2 - 36xy - xy + 6y^2)}{x^2 - 36y^2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{6x^2 + 37xy + 6y^2 + 6x^2 - 37xy + 6y^2}{x^2 - 36y^2} = \frac{12x^2 + 12y^2}{x^2 - 36y^2} $
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$ \frac{12x^2 + 12y^2}{x^2 - 36y^2} : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 36y^2} = \frac{12x^2 + 12y^2}{x^2 - 36y^2} \cdot \frac{x^2 - 36y^2}{x^2 + y^2} $
Вынесем общий множитель 12 в числителе первой дроби:
$ \frac{12(x^2 + y^2)}{x^2 - 36y^2} \cdot \frac{x^2 - 36y^2}{x^2 + y^2} $
Сократим одинаковые множители $ (x^2 - 36y^2) $ и $ (x^2 + y^2) $ в числителе и знаменателе:
$ 12 $
Ответ: $12$