Номер 40.16, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.16. Докажите тождество:

1) $\frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} = \frac{x + 1}{a - x}$

2) $\frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p + 3}{2p - 4} = \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4}$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Первым шагом заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель): $\frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} = \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{a^3 - x^3}$.
Далее, разложим на множители выражения в числителях и знаменателях, где это возможно. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2)$;
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим разложенные выражения обратно в наше выражение: $\frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)}$.
Теперь сократим общие множители $(a^2 + ax + x^2)$ и $(x - 1)$ в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{a^2 + ax + x^2}}{\cancel{x - 1}} \cdot \frac{\cancel{(x - 1)}(x + 1)}{(a - x)\cancel{(a^2 + ax + x^2)}} = \frac{x + 1}{a - x}$.
Мы получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Заменим деление на умножение на обратную дробь: $\frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p + 3}{2p - 4} = \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} \cdot \frac{2p - 4}{p + 3}$.
Разложим на множители выражения в числителях и знаменателях.
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $a$ за скобки и применим формулу разности квадратов: $ap^2 - 9a = a(p^2 - 9) = a(p - 3)(p + 3)$.
В знаменателе первой дроби применим формулу разности кубов: $p^3 - 8 = p^3 - 2^3 = (p - 2)(p^2 + 2p + 4)$.
В числителе второй дроби вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2p - 4 = 2(p - 2)$.
Подставим полученные разложения в наше выражение: $\frac{a(p - 3)(p + 3)}{(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2(p - 2)}{p + 3}$.
Сократим общие множители $(p + 3)$ и $(p - 2)$: $\frac{a(p - 3)\cancel{(p + 3)}}{\cancel{(p - 2)}(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2\cancel{(p - 2)}}{\cancel{p + 3}} = \frac{a(p - 3) \cdot 2}{p^2 + 2p + 4} = \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4}$.
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.