Номер 40.9, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.9. Представьте в виде дроби выражение:

1) $(\frac{a^3}{c^2})^4$;

2) $(\frac{2a^3}{3b^4})^5$;

3) $(\frac{3x^2y^4}{4m^3})^2$;

4) $(\frac{10m^2}{3n^2p^3})^3$;

5) $(\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4$;

6) $(\frac{b^3c^2}{8a^3})^2.

1) Чтобы представить выражение $(\frac{a^3}{c^2})^4$ в виде дроби, необходимо возвести в степень 4 и числитель, и знаменатель дроби. Для этого воспользуемся свойством возведения дроби в степень: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$, а также свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(\frac{a^3}{c^2})^4 = \frac{(a^3)^4}{(c^2)^4} = \frac{a^{3 \cdot 4}}{c^{2 \cdot 4}} = \frac{a^{12}}{c^8}$

Ответ: $\frac{a^{12}}{c^8}$

2) Для выражения $(\frac{2a^3}{3b^4})^5$ применяем те же свойства. Возводим в степень 5 каждый множитель в числителе и знаменателе. Используем свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

$(\frac{2a^3}{3b^4})^5 = \frac{(2a^3)^5}{(3b^4)^5} = \frac{2^5 \cdot (a^3)^5}{3^5 \cdot (b^4)^5} = \frac{32 \cdot a^{3 \cdot 5}}{243 \cdot b^{4 \cdot 5}} = \frac{32a^{15}}{243b^{20}}$

Ответ: $\frac{32a^{15}}{243b^{20}}$

3) Представим в виде дроби выражение $(\frac{3x^2y^4}{4m^3})^2$. Возводим в квадрат числитель и знаменатель, применяя те же правила.

$(\frac{3x^2y^4}{4m^3})^2 = \frac{(3x^2y^4)^2}{(4m^3)^2} = \frac{3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^4)^2}{4^2 \cdot (m^3)^2} = \frac{9 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^{4 \cdot 2}}{16 \cdot m^{3 \cdot 2}} = \frac{9x^4y^8}{16m^6}$

Ответ: $\frac{9x^4y^8}{16m^6}$

4) Для выражения $(\frac{10m^2}{3n^2p^3})^3$ возводим в куб (в третью степень) числитель и знаменатель.

$(\frac{10m^2}{3n^2p^3})^3 = \frac{(10m^2)^3}{(3n^2p^3)^3} = \frac{10^3 \cdot (m^2)^3}{3^3 \cdot (n^2)^3 \cdot (p^3)^3} = \frac{1000 \cdot m^{2 \cdot 3}}{27 \cdot n^{2 \cdot 3} \cdot p^{3 \cdot 3}} = \frac{1000m^6}{27n^6p^9}$

Ответ: $\frac{1000m^6}{27n^6p^9}$

5) В выражении $(-\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4$ отрицательная дробь возводится в четную степень (4), поэтому результат будет положительным. $(-\frac{x}{y})^{2k} = (\frac{x}{y})^{2k}$.

$(-\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4 = (\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4 = \frac{(5a^3)^4}{(3b^2c^4)^4} = \frac{5^4 \cdot (a^3)^4}{3^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^4)^4} = \frac{625 \cdot a^{3 \cdot 4}}{81 \cdot b^{2 \cdot 4} \cdot c^{4 \cdot 4}} = \frac{625a^{12}}{81b^8c^{16}}$

Ответ: $\frac{625a^{12}}{81b^8c^{16}}$

6) В выражении $(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2$ отрицательная дробь также возводится в четную степень (2), поэтому знак минус исчезает.

$(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = (\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = \frac{(b^3c^2)^2}{(8a^3)^2} = \frac{(b^3)^2 \cdot (c^2)^2}{8^2 \cdot (a^3)^2} = \frac{b^{3 \cdot 2} \cdot c^{2 \cdot 2}}{64 \cdot a^{3 \cdot 2}} = \frac{b^6c^4}{64a^6}$

Ответ: $\frac{b^6c^4}{64a^6}$