Номер 40.15, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.15. Упростите выражение:

1)

$\frac{a-3}{2a+4} \cdot \frac{a^2-4}{a^3-27} \cdot \frac{a^2+3a+9}{a^2-2a}$;

2)

$\frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{a^2-16}{2a-a^2} : \frac{a-4}{4b}$.

1) Чтобы упростить данное выражение, разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Исходное выражение: $ \frac{a-3}{2a+4} \cdot \frac{a^2-4}{a^3-27} \cdot \frac{a^2+3a+9}{a^2-2a} $

Разложим на множители каждый числитель и знаменатель:

• $2a+4 = 2(a+2)$
• $a^2-4 = (a-2)(a+2)$ (формула разности квадратов)
• $a^3-27 = a^3-3^3 = (a-3)(a^2+3a+9)$ (формула разности кубов)
• $a^2-2a = a(a-2)$

Подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$ \frac{a-3}{2(a+2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a^2+3a+9)} \cdot \frac{a^2+3a+9}{a(a-2)} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях:

$ \frac{\cancel{a-3}}{2\cancel{(a+2)}} \cdot \frac{\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a-3)}\cancel{(a^2+3a+9)}} \cdot \frac{\cancel{a^2+3a+9}}{a\cancel{(a-2)}} $

После сокращения в числителе остается 1, а в знаменателе $2 \cdot a = 2a$.

Получаем: $ \frac{1}{2a} $

Ответ: $ \frac{1}{2a} $

2) Чтобы упростить данное выражение, заменим деление на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь, а затем разложим на множители числители и знаменатели.

Исходное выражение: $ \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{a^2-16}{2a-a^2} : \frac{a-4}{4b} $

Заменяем деление умножением:

$ \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{a^2-16}{2a-a^2} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Разложим на множители каждый числитель и знаменатель:

• $ab-2b = b(a-2)$
• $a^2+8a+16 = (a+4)^2$ (формула квадрата суммы)
• $a^2-16 = (a-4)(a+4)$ (формула разности квадратов)
• $2a-a^2 = a(2-a) = -a(a-2)$

Подставим разложенные выражения обратно:

$ \frac{b(a-2)}{(a+4)^2} \cdot \frac{(a-4)(a+4)}{-a(a-2)} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Теперь сократим одинаковые множители. Обратите внимание на знак "минус" во втором знаменателе.

$ \frac{b\cancel{(a-2)}}{(a+4)\cancel{(a+4)}} \cdot \frac{\cancel{(a-4)}\cancel{(a+4)}}{-a\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{4b}{\cancel{a-4}} $

После сокращения в числителе остаются множители $b \cdot 4b = 4b^2$. В знаменателе остаются множители $(a+4) \cdot (-a) = -a(a+4)$.

Получаем: $ \frac{4b^2}{-a(a+4)} = -\frac{4b^2}{a(a+4)} $

Ответ: $ -\frac{4b^2}{a(a+4)} $