Номер 40.19, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.19. Сравните значения числовых выражений:

1) $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4}$ и $\frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$;

2) $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$ и $2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$.

1) Для того чтобы сравнить значения числовых выражений $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4}$ и $\frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$, вычислим значение каждого из них по отдельности.

Вычислим значение первого выражения: $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{2^2}{5^2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 4}$. Сократим дробь на $4$ и на $5$: $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

Вычислим значение второго выражения: $\frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{3^2}{5^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{25} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 25}$. Сократим дробь на $5$: $\frac{9}{4 \cdot 5} = \frac{9}{20}$.

Теперь сравним полученные результаты: $\frac{1}{5}$ и $\frac{9}{20}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $20$. $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$. Сравниваем дроби $\frac{4}{20}$ и $\frac{9}{20}$. Так как их знаменатели равны, сравниваем числители: $4 < 9$. Следовательно, $\frac{4}{20} < \frac{9}{20}$, что означает $\frac{1}{5} < \frac{9}{20}$. Таким образом, первое выражение меньше второго.
Ответ: $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4} < \frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$.

2) Для того чтобы сравнить значения числовых выражений $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$ и $2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$, вычислим значение каждой суммы.

Вычислим значение первого выражения: $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$. Сложим целые и дробные части отдельно. Целые части: $1 + 3 = 4$. Дробные части: $\frac{2}{5} + \frac{4}{15}$. Общий знаменатель $15$. $\frac{2}{5} + \frac{4}{15} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4}{15} = \frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{10}{15}$. Сокращаем дробь: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Результат сложения первого выражения: $4 + \frac{2}{3} = 4\frac{2}{3}$.

Вычислим значение второго выражения: $2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$. Сложим целые и дробные части отдельно. Целые части: $2 + 1 = 3$. Дробные части: $\frac{3}{7} + \frac{11}{14}$. Общий знаменатель $14$. $\frac{3}{7} + \frac{11}{14} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{11}{14} = \frac{6}{14} + \frac{11}{14} = \frac{17}{14}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{17}{14} = 1\frac{3}{14}$. Результат сложения второго выражения: $3 + 1\frac{3}{14} = 4\frac{3}{14}$.

Теперь сравним полученные результаты: $4\frac{2}{3}$ и $4\frac{3}{14}$. Целые части у чисел одинаковы (равны $4$), поэтому нужно сравнить их дробные части: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{14}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $3$ и $14$ это $3 \cdot 14 = 42$. $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 14}{3 \cdot 14} = \frac{28}{42}$. $\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}$. Сравниваем дроби $\frac{28}{42}$ и $\frac{9}{42}$. Так как $28 > 9$, то $\frac{28}{42} > \frac{9}{42}$, и, следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{3}{14}$. Таким образом, $4\frac{2}{3} > 4\frac{3}{14}$, а значит первое выражение больше второго.
Ответ: $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} > 2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$.