Номер 40.13, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.13. Найдите значение выражения:

1) $\frac{8x^2 - 8x}{x+3} : (2x-2) \cdot x$, если $x = 2,5$; $-3,4$;

2) $(3a-6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a-2b}$, если $a = 2,6$, $b = -1,2$.

1) Сначала упростим данное выражение. Действия деления и умножения выполняются по порядку, слева направо. Выражение: $ \frac{8x^2-8x}{x+3} : (2x-2) \cdot x $.

Сначала выполним деление $ \frac{8x^2-8x}{x+3} $ на $ (2x-2) $. Для этого разложим на множители числитель дроби и делитель:

$ 8x^2-8x = 8x(x-1) $

$ 2x-2 = 2(x-1) $

Теперь деление выглядит так:

$ \frac{8x(x-1)}{x+3} : (2(x-1)) = \frac{8x(x-1)}{x+3} \cdot \frac{1}{2(x-1)} $

Сократим общий множитель $ (x-1) $ (при условии, что $ x \neq 1 $):

$ \frac{8x}{2(x+3)} = \frac{4x}{x+3} $

Теперь результат умножим на $ x $:

$ \frac{4x}{x+3} \cdot x = \frac{4x^2}{x+3} $

Область допустимых значений исходного выражения: знаменатель $ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $, и делитель $ 2x-2 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Теперь найдем значения упрощенного выражения для заданных $ x $.

При $ x = 2,5 $:

$ \frac{4 \cdot (2,5)^2}{2,5+3} = \frac{4 \cdot 6,25}{5,5} = \frac{25}{5,5} = \frac{250}{55} = \frac{50}{11} $

При $ x = -3,4 $:

$ \frac{4 \cdot (-3,4)^2}{-3,4+3} = \frac{4 \cdot 11,56}{-0,4} = -10 \cdot 11,56 = -115,6 $

Ответ: при $ x = 2,5 $ значение равно $ \frac{50}{11} $; при $ x = -3,4 $ значение равно $ -115,6 $.

2) Сначала упростим выражение $ (3a-6b):\frac{2a^2-8b^2}{a-2b} $.

Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:

$ (3a-6b) \cdot \frac{a-2b}{2a^2-8b^2} $

Разложим на множители выражения в скобках и в знаменателе дроби:

$ 3a-6b = 3(a-2b) $

$ 2a^2-8b^2 = 2(a^2-4b^2) = 2(a-2b)(a+2b) $ (используя формулу разности квадратов).

Подставим разложенные выражения обратно:

$ 3(a-2b) \cdot \frac{a-2b}{2(a-2b)(a+2b)} $

Запишем всё в виде одной дроби:

$ \frac{3(a-2b)(a-2b)}{2(a-2b)(a+2b)} $

Сократим общий множитель $ (a-2b) $ (при условии, что $ a-2b \neq 0 $):

$ \frac{3(a-2b)}{2(a+2b)} $

Область допустимых значений исходного выражения: $ a-2b \neq 0 $ и $ 2a^2-8b^2 \neq 0 $, что в совокупности дает $ a \neq 2b $ и $ a \neq -2b $.

Теперь подставим заданные значения $ a = 2,6 $ и $ b = -1,2 $ в упрощенное выражение.

Вычислим значения выражений в скобках:

$ a-2b = 2,6 - 2(-1,2) = 2,6 + 2,4 = 5 $

$ a+2b = 2,6 + 2(-1,2) = 2,6 - 2,4 = 0,2 $

Подставляем эти значения в упрощенную дробь:

$ \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 0,2} = \frac{15}{0,4} = \frac{150}{4} = 37,5 $

Ответ: $ 37,5 $.