Номер 40.12, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.12. Упростите выражение:

1) $ \frac{n^2 - 10n + 25}{3a + 12} \cdot \frac{a^2 - 16}{2n - 10} $;

2) $ \frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10} $;

3) $ \frac{4 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a} $;

4) $ \frac{a^3 + 8}{18a^2 + 27a} \cdot \frac{2a + 3}{a^2 - 2a + 4} $.

1) Для того чтобы упростить выражение $\frac{n^2 - 10n + 25}{3a + 12} \cdot \frac{a^2 - 16}{2n - 10}$, разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Числитель первой дроби $n^2 - 10n + 25$ является полным квадратом разности $(n-5)^2$, так как $n^2 - 2 \cdot n \cdot 5 + 5^2 = (n-5)^2$.

В знаменателе первой дроби $3a + 12$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a + 4)$.

Числитель второй дроби $a^2 - 16$ является разностью квадратов $a^2 - 4^2$, которую можно разложить как $(a - 4)(a + 4)$.

В знаменателе второй дроби $2n - 10$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(n - 5)$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$\frac{(n-5)^2}{3(a+4)} \cdot \frac{(a-4)(a+4)}{2(n-5)}$

Сократим общие множители $(n-5)$ и $(a+4)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(n-5)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(a+4)}} \cdot \frac{(a-4)\cancel{(a+4)}}{2\cancel{(n-5)}} = \frac{(n-5)(a-4)}{3 \cdot 2} = \frac{(n-5)(a-4)}{6}$

Ответ: $\frac{(n-5)(a-4)}{6}$.

2) Упростим выражение $\frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10}$. Для этого разложим на множители составные части дробей.

Числитель первой дроби $y^2 - 25$ — это разность квадратов: $y^2 - 5^2 = (y-5)(y+5)$.

Знаменатель первой дроби $y^2 + 12y + 36$ — это полный квадрат суммы: $y^2 + 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = (y+6)^2$.

В числителе второй дроби $3y + 18$ вынесем за скобки 3: $3(y+6)$.

В знаменателе второй дроби $2y + 10$ вынесем за скобки 2: $2(y+5)$.

Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:

$\frac{(y-5)(y+5)}{(y+6)^2} \cdot \frac{3(y+6)}{2(y+5)}$

Сократим одинаковые множители $(y+5)$ и $(y+6)$:

$\frac{(y-5)\cancel{(y+5)}}{(y+6)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(y+6)}}{2\cancel{(y+5)}} = \frac{3(y-5)}{2(y+6)}$

Ответ: $\frac{3(y-5)}{2(y+6)}$.

3) Упростим выражение $\frac{4 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a}$. Разложим на множители числители и знаменатели.

Числитель $4 - a^2$ — разность квадратов: $2^2 - a^2 = (2-a)(2+a)$.

Знаменатель $4a + 8b$ — выносим 4: $4(a+2b)$.

Числитель $a^2 + 4ab + 4b^2$ — полный квадрат суммы: $a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.

Знаменатель $3 - 3a$ — выносим 3: $3(1-a)$.

Подставляем разложения в исходное выражение:

$\frac{(2-a)(2+a)}{4(a+2b)} \cdot \frac{(a+2b)^2}{3(1-a)}$

Сокращаем общий множитель $(a+2b)$:

$\frac{(2-a)(2+a)}{4\cancel{(a+2b)}} \cdot \frac{(a+2b)^{\cancel{2}}}{3(1-a)} = \frac{(2-a)(2+a)(a+2b)}{4 \cdot 3(1-a)} = \frac{(2-a)(2+a)(a+2b)}{12(1-a)}$

Ответ: $\frac{(2-a)(2+a)(a+2b)}{12(1-a)}$.

4) Упростим выражение $\frac{a^3 + 8}{18a^2 + 27a} \cdot \frac{2a + 3}{a^2 - 2a + 4}$. Разложим на множители.

Числитель $a^3 + 8$ — это сумма кубов: $a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2 - 2a + 4)$.

В знаменателе $18a^2 + 27a$ вынесем общий множитель $9a$: $9a(2a + 3)$.

Выражение $2a+3$ является простым.

Выражение $a^2 - 2a + 4$ является неполным квадратом разности и не раскладывается на множители с действительными корнями. Заметим, что оно совпадает со вторым множителем из разложения суммы кубов.

Подставляем разложения в исходное выражение:

$\frac{(a+2)(a^2 - 2a + 4)}{9a(2a + 3)} \cdot \frac{2a + 3}{a^2 - 2a + 4}$

Сокращаем общие множители $(a^2 - 2a + 4)$ и $(2a + 3)$:

$\frac{(a+2)\cancel{(a^2 - 2a + 4)}}{9a\cancel{(2a + 3)}} \cdot \frac{\cancel{2a + 3}}{\cancel{a^2 - 2a + 4}} = \frac{a+2}{9a}$

Ответ: $\frac{a+2}{9a}$.