Номер 40.11, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.11. Выполните действия:

1) $\frac{mx^2 - my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx} : (x-y);$

2) $\frac{a^2 - 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1} \cdot (a+1);$

3) $\frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{7x + 7y} : ax;$

4) $\frac{b^3 - 8}{b^2 - 9} \cdot \frac{b + 3}{b^2 + 2b + 4};$

5) $\frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : (x-y);$

6) $\frac{c^2 + 6c + 9}{c^3 + 27} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3c + 9} : (c-3).$

1)Для решения данного примера выполним действия с дробями по порядку. Сначала разложим числители и знаменатели на множители, затем выполним умножение и деление.

Исходное выражение: $ \frac{mx^2 - my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx} : (x-y) $

1. Разложим на множители каждую часть выражения:

$mx^2 - my^2 = m(x^2 - y^2) = m(x-y)(x+y)$

$2m + 8 = 2(m+4)$

$3m + 12 = 3(m+4)$

$my + mx = m(y+x) = m(x+y)$

Деление на $(x-y)$ эквивалентно умножению на $ \frac{1}{x-y} $.

2. Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$ \frac{m(x-y)(x+y)}{2(m+4)} \cdot \frac{3(m+4)}{m(x+y)} \cdot \frac{1}{x-y} $

3. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{m}\cancel{(x-y)}\cancel{(x+y)}}{2\cancel{(m+4)}} \cdot \frac{3\cancel{(m+4)}}{\cancel{m}\cancel{(x+y)}} \cdot \frac{1}{\cancel{x-y}} $

4. После сокращения остаются:

$ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2} = 1.5 $

Ответ: $ \frac{3}{2} $

2)Выполним действия с дробями в порядке их следования (слева направо). Сначала деление, затем умножение. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 1}{a^3 + 1} : \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1} \cdot (a+1) $

1. Разложим на множители:

$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$ (разность квадратов)

$a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1)$ (сумма кубов)

$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$ (квадрат суммы)

2. Подставим разложенные выражения и заменим деление на умножение (перевернув вторую дробь):

$ \frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{(a+1)^2}{a^2 - a + 1} \cdot \frac{a+1}{1} $

3. Сократим одинаковые множители в первой дроби:

$ \frac{a-1}{a^2 - a + 1} \cdot \frac{(a+1)^2}{a^2 - a + 1} \cdot (a+1) $

4. Перемножим оставшиеся дроби. Числители перемножаются с числителями, знаменатели со знаменателями:

$ \frac{(a-1) \cdot (a+1)^2 \cdot (a+1)}{(a^2 - a + 1) \cdot (a^2 - a + 1)} = \frac{(a-1)(a+1)^3}{(a^2 - a + 1)^2} $

Ответ: $ \frac{(a-1)(a+1)^3}{(a^2 - a + 1)^2} $

3)Выполним действия по порядку: сначала умножение, затем деление. Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Исходное выражение: $ \frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{7x + 7y} : ax $

1. Разложим на множители:

$ax + ay = a(x+y)$

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$

$x^2 - xy = x(x-y)$

$7x + 7y = 7(x+y)$

Деление на $ax$ эквивалентно умножению на $ \frac{1}{ax} $.

2. Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{a(x+y)}{(x-y)^2} \cdot \frac{x(x-y)}{7(x+y)} \cdot \frac{1}{ax} $

3. Сократим общие множители:

$ \frac{\cancel{a}\cancel{(x+y)}}{(x-y)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{(x-y)}}{7\cancel{(x+y)}} \cdot \frac{1}{\cancel{a}\cancel{x}} $

4. После сокращения получаем:

$ \frac{1}{x-y} \cdot \frac{1}{7} \cdot 1 = \frac{1}{7(x-y)} $

Ответ: $ \frac{1}{7(x-y)} $

4)Для решения данного примера необходимо разложить числители и знаменатели на множители и сократить общие множители.

Исходное выражение: $ \frac{b^3 - 8}{b^2 - 9} \cdot \frac{b+3}{b^2 + 2b + 4} $

1. Разложим на множители, используя формулы разности кубов и разности квадратов:

$b^3 - 8 = b^3 - 2^3 = (b-2)(b^2 + 2b + 4)$

$b^2 - 9 = (b-3)(b+3)$

2. Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{(b-2)(b^2 + 2b + 4)}{(b-3)(b+3)} \cdot \frac{b+3}{b^2 + 2b + 4} $

3. Сократим общие множители $(b+3)$ и $(b^2 + 2b + 4)$:

$ \frac{(b-2)\cancel{(b^2 + 2b + 4)}}{(b-3)\cancel{(b+3)}} \cdot \frac{\cancel{b+3}}{\cancel{b^2 + 2b + 4}} $

4. В результате остается:

$ \frac{b-2}{b-3} $

Ответ: $ \frac{b-2}{b-3} $

5)Выполним действия по порядку, предварительно разложив выражения на множители.

Исходное выражение: $ \frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : (x-y) $

1. Разложим на множители, используя формулы разности кубов и разности квадратов:

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

Деление на $(x-y)$ заменим умножением на $ \frac{1}{x-y} $.

2. Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{1}{x-y} $

3. Сократим общие множители:

$ \frac{\cancel{(x-y)}\cancel{(x^2 + xy + y^2)}}{\cancel{x + y}} \cdot \frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x^2 + xy + y^2}} \cdot \frac{1}{\cancel{x-y}} $

4. После сокращения всех возможных множителей остается:

$ x-y $

Ответ: $ x-y $

6)Выполним действия по порядку. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Исходное выражение: $ \frac{c^2 + 6c + 9}{c^3 + 27} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3c + 9} : (c-3) $

1. Разложим на множители, используя формулы квадрата суммы и суммы кубов:

$c^2 + 6c + 9 = (c+3)^2$

$c^3 + 27 = c^3 + 3^3 = (c+3)(c^2 - 3c + 9)$

$3c + 9 = 3(c+3)$

Деление на $(c-3)$ заменим умножением на $ \frac{1}{c-3} $.

2. Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{(c+3)^2}{(c+3)(c^2 - 3c + 9)} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3(c+3)} \cdot \frac{1}{c-3} $

3. Сократим общие множители. Сначала сократим $(c+3)$ в первой дроби:

$ \frac{c+3}{c^2 - 3c + 9} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3(c+3)} \cdot \frac{1}{c-3} $

Теперь сократим $(c^2 - 3c + 9)$ и $(c+3)$:

$ \frac{\cancel{c+3}}{\cancel{c^2 - 3c + 9}} \cdot \frac{\cancel{c^2 - 3c + 9}}{3\cancel{(c+3)}} \cdot \frac{1}{c-3} $

4. В результате получаем:

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{c-3} = \frac{1}{3(c-3)} $

Ответ: $ \frac{1}{3(c-3)} $