Номер 40.17, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.17. Докажите, что значение выражения:

1) $ \frac{c^2 - 1}{c^3 + 1} : \frac{c - 1}{c^2 - c + 1} $ при ($c \ne 1$ и $c \ne -1$) не зависит от значения
переменной c;

2) $ \frac{a^2 - 4}{a^3 + 8} \cdot \frac{a^2 - 2a + 4}{3a - 6} $ при ($a \ne 2$ и $a \ne -2$) не зависит от значения
переменной a.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $c$, необходимо его упростить.
Исходное выражение: $\frac{c^2 - 1}{c^3 + 1} : \frac{c - 1}{c^2 - c + 1}$.
Заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:
$\frac{c^2 - 1}{c^3 + 1} \cdot \frac{c^2 - c + 1}{c - 1}$.
Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и знаменатель по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$c^2 - 1 = (c-1)(c+1)$
$c^3 + 1 = (c+1)(c^2-c+1)$
Подставим полученные разложения в выражение:
$\frac{(c-1)(c+1)}{(c+1)(c^2-c+1)} \cdot \frac{c^2 - c + 1}{c - 1}$.
Сократим общие множители. Условия $c \neq 1$ и $c \neq -1$ позволяют сокращать $(c-1)$ и $(c+1)$, так как они не равны нулю. Выражение $c^2-c+1$ также не равно нулю ни при каких действительных значениях $c$.
$\frac{\cancel{(c-1)}\cancel{(c+1)}}{\cancel{(c+1)}\cancel{(c^2-c+1)}} \cdot \frac{\cancel{c^2 - c + 1}}{\cancel{c - 1}} = 1$.
В результате упрощения получилось число 1, которое является постоянной величиной и не зависит от значения переменной $c$.
Ответ: 1.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $a$, необходимо его упростить.
Исходное выражение: $\frac{a^2 - 4}{a^3 + 8} \cdot \frac{a^2 - 2a + 4}{3a - 6}$.
Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки:
$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a-2)(a+2)$ (разность квадратов)
$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$ (сумма кубов)
$3a - 6 = 3(a-2)$ (вынесение общего множителя)
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} \cdot \frac{a^2 - 2a + 4}{3(a - 2)}$.
Сократим общие множители. Согласно условиям $a \neq 2$ и $a \neq -2$, множители $(a-2)$ и $(a+2)$ не равны нулю. Выражение $a^2-2a+4$ не равно нулю ни при каких действительных значениях $a$.
$\frac{\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a+2)}\cancel{(a^2-2a+4)}} \cdot \frac{\cancel{a^2 - 2a + 4}}{3\cancel{(a - 2)}} = \frac{1}{3}$.
В результате упрощения получилось число $\frac{1}{3}$, которое является постоянной величиной и не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.