Номер 41.1, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия (41.1–41.2):

1) $ \left(\frac{2a}{y^2} - \frac{2}{a}\right) : \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{a}\right); $

2) $ \left(\frac{n}{m^2} + \frac{n^2}{m^3}\right) : \left(\frac{m^2}{3n^2} + \frac{m}{3n}\right); $

3) $ \frac{ab + b^2}{5} : \frac{b^3}{5a} + \frac{a + b}{b}; $

4) $ \frac{x - y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}; $

5) $ \left(\frac{x}{x + 1} + 1\right) \cdot \frac{1 + x}{2x - 1}; $

6) $ \left(\frac{4a}{2 - a} - a\right) : \frac{a + 2}{a - 2}; $

7) $ \frac{5y^2}{1 - y^2} : \left(1 - \frac{1}{1 - y}\right); $

8) $ \frac{xb + b^2}{7} : \frac{b^2}{7x} + \frac{x + b}{b}; $

9) $ \frac{x - 4}{x - 5} \cdot \left(x + \frac{x}{4 - x}\right); $

10) $ \left(\frac{a - b}{2a + 2b}\right) : \left(\frac{2}{a} - \frac{2}{b}\right) \cdot \left(\frac{4a + 4b}{a^2b}\right). $

1) $(\frac{2a}{y^2} - \frac{2}{a}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{a})$

Сначала выполним действия в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю в каждой скобке.

Первая скобка: $\frac{2a}{y^2} - \frac{2}{a} = \frac{2a \cdot a}{y^2a} - \frac{2 \cdot y^2}{ay^2} = \frac{2a^2 - 2y^2}{ay^2} = \frac{2(a^2 - y^2)}{ay^2} = \frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2}$.

Вторая скобка: $\frac{1}{y} + \frac{1}{a} = \frac{1 \cdot a}{ya} + \frac{1 \cdot y}{ay} = \frac{a+y}{ay}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2} : \frac{a+y}{ay} = \frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2} \cdot \frac{ay}{a+y}$.

Сократим общие множители $(a+y)$, $a$ и $y$:

$\frac{2(a-y)\cancel{(a+y)}}{\cancel{a}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a}\cancel{y}}{\cancel{a+y}} = \frac{2(a-y)}{y}$.

Ответ: $\frac{2(a-y)}{y}$

2) $(\frac{n}{m^2} + \frac{n^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{3n^2} + \frac{m}{3n})$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю.

Первая скобка: $\frac{n}{m^2} + \frac{n^2}{m^3} = \frac{n \cdot m}{m^3} + \frac{n^2}{m^3} = \frac{nm + n^2}{m^3} = \frac{n(m+n)}{m^3}$.

Вторая скобка: $\frac{m^2}{3n^2} + \frac{m}{3n} = \frac{m^2}{3n^2} + \frac{m \cdot n}{3n \cdot n} = \frac{m^2 + mn}{3n^2} = \frac{m(m+n)}{3n^2}$.

Выполним деление:

$\frac{n(m+n)}{m^3} : \frac{m(m+n)}{3n^2} = \frac{n(m+n)}{m^3} \cdot \frac{3n^2}{m(m+n)}$.

Сократим общий множитель $(m+n)$:

$\frac{n\cancel{(m+n)}}{m^3} \cdot \frac{3n^2}{m\cancel{(m+n)}} = \frac{n \cdot 3n^2}{m^3 \cdot m} = \frac{3n^3}{m^4}$.

Ответ: $\frac{3n^3}{m^4}$

3) $\frac{ab+b^2}{5} : \frac{b^3}{5a} + \frac{a+b}{b}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Вынесем общий множитель в числителе первой дроби:

$\frac{b(a+b)}{5} : \frac{b^3}{5a} = \frac{b(a+b)}{5} \cdot \frac{5a}{b^3}$.

Сократим общие множители $5$ и $b$:

$\frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}a}{b^{\cancel{3}2}} = \frac{a(a+b)}{b^2}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b}$.

Приведем к общему знаменателю $b^2$:

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{(a+b)b}{b^2} = \frac{a(a+b) + b(a+b)}{b^2}$.

Вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе:

$\frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$.

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$

4) $\frac{x-y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}$

Сначала выполняем умножение. Вынесем общий множитель в числителе второй дроби:

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x-y)}{5y}$.

Сократим общие множители $5y$ и $x$:

$\frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x}$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$.

Ответ: $0$

5) $(\frac{x}{x+1} + 1) \cdot \frac{1+x}{2x-1}$

Выполним сложение в скобках, представив 1 как $\frac{x+1}{x+1}$:

$\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x+x+1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{1+x}{2x-1}$.

Так как $1+x = x+1$, сократим общий множитель $(x+1)$:

$\frac{2x+1}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{2x-1} = \frac{2x+1}{2x-1}$.

Ответ: $\frac{2x+1}{2x-1}$

6) $(\frac{4a}{2-a} - a) : \frac{a+2}{a-2}$

Выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю $2-a$:

$\frac{4a}{2-a} - \frac{a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - (2a-a^2)}{2-a} = \frac{4a-2a+a^2}{2-a} = \frac{a^2+2a}{2-a} = \frac{a(a+2)}{2-a}$.

Выполним деление. Заметим, что $2-a = -(a-2)$:

$\frac{a(a+2)}{-(a-2)} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a(a+2)}{-(a-2)} \cdot \frac{a-2}{a+2}$.

Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:

$\frac{a\cancel{(a+2)}}{-\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{\cancel{a-2}}{\cancel{a+2}} = \frac{a}{-1} = -a$.

Ответ: $-a$

7) $\frac{5y^2}{1-y^2} : (1 - \frac{1}{1-y})$

Выполним действие в скобках:

$1 - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y}$.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $1-y^2 = (1-y)(1+y)$.

Выполним деление:

$\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y}$.

Сократим общие множители $(1-y)$ и $y$:

$\frac{5y^{\cancel{2}}}{\cancel{(1-y)}(1+y)} \cdot \frac{\cancel{1-y}}{-\cancel{y}} = \frac{5y}{-(1+y)} = -\frac{5y}{1+y}$.

Ответ: $-\frac{5y}{1+y}$

8) $\frac{xb+b^2}{7} : \frac{b^2}{7x} + \frac{x+b}{b}$

Сначала выполним деление. Вынесем $b$ в числителе первой дроби:

$\frac{b(x+b)}{7} : \frac{b^2}{7x} = \frac{b(x+b)}{7} \cdot \frac{7x}{b^2}$.

Сократим общие множители $7$ и $b$:

$\frac{\cancel{b}(x+b)}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}x}{b^{\cancel{2}}} = \frac{x(x+b)}{b}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{x(x+b)}{b} + \frac{x+b}{b} = \frac{x(x+b) + (x+b)}{b}$.

Вынесем общий множитель $(x+b)$ в числителе:

$\frac{(x+b)(x+1)}{b}$.

Ответ: $\frac{(x+1)(x+b)}{b}$

9) $\frac{x-4}{x-5} \cdot (x + \frac{x}{4-x})$

Выполним сложение в скобках:

$x + \frac{x}{4-x} = \frac{x(4-x)}{4-x} + \frac{x}{4-x} = \frac{4x-x^2+x}{4-x} = \frac{5x-x^2}{4-x} = \frac{x(5-x)}{4-x}$.

Выполним умножение. Заметим, что $4-x = -(x-4)$ и $5-x = -(x-5)$:

$\frac{x-4}{x-5} \cdot \frac{x(5-x)}{4-x} = \frac{x-4}{x-5} \cdot \frac{x(-(x-5))}{-(x-4)}$.

Сократим общие множители $(x-4)$, $(x-5)$ и $-1$:

$\frac{\cancel{x-4}}{\cancel{x-5}} \cdot \frac{x(-\cancel{(x-5)})}{-\cancel{(x-4)}} = \frac{x(-1)}{-1} = x$.

Ответ: $x$

10) $(\frac{a-b}{2a+2b} : (\frac{2}{a} - \frac{2}{b})) \cdot (\frac{4a+4b}{a^2b})$

Выполним по порядку действий. Сначала действие во внутренних скобках:

$\frac{2}{a} - \frac{2}{b} = \frac{2b}{ab} - \frac{2a}{ab} = \frac{2b-2a}{ab} = \frac{2(b-a)}{ab}$.

Теперь выполним деление в больших скобках. Упростим делимое: $\frac{a-b}{2a+2b} = \frac{a-b}{2(a+b)}$.

$\frac{a-b}{2(a+b)} : \frac{2(b-a)}{ab} = \frac{a-b}{2(a+b)} \cdot \frac{ab}{2(b-a)}$.

Заменим $b-a$ на $-(a-b)$ и сократим:

$\frac{a-b}{2(a+b)} \cdot \frac{ab}{-2(a-b)} = \frac{\cancel{a-b}}{2(a+b)} \cdot \frac{ab}{-2(\cancel{a-b})} = \frac{ab}{-4(a+b)}$.

Теперь выполним умножение. Упростим второй множитель: $\frac{4a+4b}{a^2b} = \frac{4(a+b)}{a^2b}$.

$\frac{ab}{-4(a+b)} \cdot \frac{4(a+b)}{a^2b}$.

Сократим общие множители $4$, $(a+b)$, $a$ и $b$:

$\frac{\cancel{a}\cancel{b}}{-\cancel{4}\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{4}\cancel{(a+b)}}{a^{\cancel{2}}\cancel{b}} = \frac{1}{-a} = -\frac{1}{a}$.

Ответ: $-\frac{1}{a}$