Номер 41.5, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (41.5–41.6):

41.5.

1. $\frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a}$ при 1) $a = 2$; 2) $a = -4$;

2. $\frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2}$ при 1) $x = -1$; 2) $x = -2,5$.

1. Сначала упростим выражение $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a+5}{a^2 - 3a} $.

Для этого разложим на множители числители и знаменатели дробей:

$a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$ (разность квадратов).

$a^2 + 5a = a(a+5)$ (вынесение общего множителя).

$a^2 - 3a = a(a-3)$ (вынесение общего множителя).

Подставим разложения в выражение и выполним умножение:

$ \frac{(a-5)(a+5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a+5)} - \frac{a+5}{a(a-3)} = \frac{(a-5)\cancel{(a+5)}}{(a + 3) \cdot a\cancel{(a+5)}} - \frac{a+5}{a(a-3)} = \frac{a-5}{a(a+3)} - \frac{a+5}{a(a-3)} $.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $a(a+3)(a-3)$:

$ \frac{(a-5)(a-3)}{a(a+3)(a-3)} - \frac{(a+5)(a+3)}{a(a-3)(a+3)} = \frac{(a^2 - 3a - 5a + 15) - (a^2 + 3a + 5a + 15)}{a(a^2-9)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 - 8a + 15 - a^2 - 8a - 15}{a(a^2-9)} = \frac{-16a}{a(a^2-9)} $.

Сократим дробь на $a$ (при $a \neq 0$):

$ \frac{-16}{a^2 - 9} $.

Теперь найдем значения упрощенного выражения при заданных значениях $a$.

1) при $a = 2$

$ \frac{-16}{2^2 - 9} = \frac{-16}{4 - 9} = \frac{-16}{-5} = 3,2 $.

2) при $a = -4$

$ \frac{-16}{(-4)^2 - 9} = \frac{-16}{16 - 9} = \frac{-16}{7} = -\frac{16}{7} $.

Ответ: 1) 3,2; 2) $-\frac{16}{7}$.

2. Сначала упростим выражение $ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3+x}{4x+2} $.

Порядок действий требует сначала выполнить деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} \cdot \frac{4x+2}{3+x} $.

Разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях:

$x^2 + 3x = x(x+3)$;

$4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1)$;

$4x+2 = 2(2x+1)$;

$1-2x = -(2x-1)$.

Подставим разложения в часть выражения с умножением и сократим:

$ \frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{2(2x+1)}{x+3} = \frac{x\cancel{(x+3)}}{(2x-1)\cancel{(2x+1)}} \cdot \frac{2\cancel{(2x+1)}}{\cancel{x+3}} = \frac{2x}{2x-1} $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{2x}{2x-1} = \frac{-(2x-1)}{2x+1} + \frac{2x}{2x-1} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2x+1)(2x-1) = 4x^2-1$:

$ \frac{-(2x-1)(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)} + \frac{2x(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{-(2x-1)^2 + 2x(2x+1)}{4x^2-1} $.

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{-(4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 + 2x)}{4x^2 - 1} = \frac{-4x^2 + 4x - 1 + 4x^2 + 2x}{4x^2 - 1} = \frac{6x - 1}{4x^2 - 1} $.

Теперь найдем значения упрощенного выражения при заданных значениях $x$.

1) при $x = -1$

$ \frac{6(-1) - 1}{4(-1)^2 - 1} = \frac{-6 - 1}{4(1) - 1} = \frac{-7}{4 - 1} = \frac{-7}{3} = -\frac{7}{3} $.

2) при $x = -2,5$

$ \frac{6(-2,5) - 1}{4(-2,5)^2 - 1} = \frac{-15 - 1}{4(6,25) - 1} = \frac{-16}{25 - 1} = \frac{-16}{24} = -\frac{2}{3} $.

Ответ: 1) $-\frac{7}{3}$; 2) $-\frac{2}{3}$.