Номер 41.12, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.12. Если $x = \frac{3n}{n+2}$, то найдите значение выражения:

1) $\frac{x-3}{2x+n}$;

2) $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{x}$;

3) $\frac{3x-3}{(2+n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$.

1)Для нахождения значения выражения $\frac{x-3}{2x+n}$ подставим в него $x = \frac{3n}{n+2}$.Сначала преобразуем числитель:$x - 3 = \frac{3n}{n+2} - 3 = \frac{3n - 3(n+2)}{n+2} = \frac{3n - 3n - 6}{n+2} = \frac{-6}{n+2}$.Теперь преобразуем знаменатель:$2x + n = 2\left(\frac{3n}{n+2}\right) + n = \frac{6n}{n+2} + \frac{n(n+2)}{n+2} = \frac{6n + n^2 + 2n}{n+2} = \frac{n^2 + 8n}{n+2} = \frac{n(n+8)}{n+2}$.Теперь найдём значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:$\frac{x-3}{2x+n} = \frac{\frac{-6}{n+2}}{\frac{n(n+8)}{n+2}} = \frac{-6}{n+2} \cdot \frac{n+2}{n(n+8)} = \frac{-6}{n(n+8)}$.
Ответ: $\frac{-6}{n(n+8)}$.

2)Для нахождения значения выражения $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{x}$ подставим в него $x = \frac{3n}{n+2}$.Рассмотрим первое слагаемое $\frac{2x-4n}{x+2n}$.Его числитель: $2x-4n = 2\left(\frac{3n}{n+2}\right) - 4n = \frac{6n - 4n(n+2)}{n+2} = \frac{6n - 4n^2 - 8n}{n+2} = \frac{-4n^2 - 2n}{n+2} = \frac{-2n(2n+1)}{n+2}$.Его знаменатель: $x+2n = \frac{3n}{n+2} + 2n = \frac{3n + 2n(n+2)}{n+2} = \frac{3n + 2n^2 + 4n}{n+2} = \frac{2n^2 + 7n}{n+2} = \frac{n(2n+7)}{n+2}$.Тогда первое слагаемое равно: $\frac{\frac{-2n(2n+1)}{n+2}}{\frac{n(2n+7)}{n+2}} = \frac{-2n(2n+1)}{n(2n+7)} = \frac{-2(2n+1)}{2n+7}$.Второе слагаемое равно: $\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{3n}{n+2}} = \frac{n+2}{3n}$.Теперь сложим полученные выражения:$\frac{-2(2n+1)}{2n+7} + \frac{n+2}{3n} = \frac{-6n(2n+1) + (n+2)(2n+7)}{3n(2n+7)} = \frac{-12n^2 - 6n + (2n^2 + 7n + 4n + 14)}{3n(2n+7)} = \frac{-10n^2 + 5n + 14}{3n(2n+7)}$.
Ответ: $\frac{-10n^2 + 5n + 14}{3n(2n+7)}$.

3)Для нахождения значения выражения $\frac{3x-3}{(2+n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$ воспользуемся тем, что из условия $x = \frac{3n}{n+2}$ следует равенство $(n+2)x = 3n$.Рассмотрим первую дробь. Её знаменатель можно упростить: $(2+n)x+n = 3n+n = 4n$.Числитель первой дроби: $3x-3 = 3(x-1) = 3\left(\frac{3n}{n+2}-1\right) = 3\left(\frac{3n-(n+2)}{n+2}\right) = 3\left(\frac{2n-2}{n+2}\right) = \frac{6(n-1)}{n+2}$.Таким образом, первая дробь равна $\frac{\frac{6(n-1)}{n+2}}{4n} = \frac{6(n-1)}{4n(n+2)} = \frac{3(n-1)}{2n(n+2)}$.Рассмотрим вторую дробь. Из равенства $(n+2)x = 3n$ следует $xn+2x=3n$, откуда $2x-3n = -xn$.Числитель второй дроби: $x-3 = \frac{3n}{n+2} - 3 = \frac{3n-3(n+2)}{n+2} = \frac{-6}{n+2}$.Знаменатель второй дроби: $2x-3n = -xn = -n \cdot \frac{3n}{n+2} = \frac{-3n^2}{n+2}$.Таким образом, вторая дробь равна $\frac{\frac{-6}{n+2}}{\frac{-3n^2}{n+2}} = \frac{-6}{-3n^2} = \frac{2}{n^2}$.Теперь найдем разность дробей:$\frac{3(n-1)}{2n(n+2)} - \frac{2}{n^2} = \frac{3n(n-1) - 2 \cdot 2(n+2)}{2n^2(n+2)} = \frac{3n^2 - 3n - 4n - 8}{2n^2(n+2)} = \frac{3n^2 - 7n - 8}{2n^2(n+2)}$.
Ответ: $\frac{3n^2 - 7n - 8}{2n^2(n+2)}$.