Номер 41.14, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.14. Докажите, что верно равенство:

1) $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a} = \frac{16}{9 - a^2} $

2) $ \frac{b - c}{a + b} - \frac{ab - b^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - b^2} = -\frac{c}{a} $

1) Чтобы доказать равенство, мы преобразуем его левую часть (ЛЧ) и покажем, что она равна правой части (ПЧ).
ЛЧ = $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a} $
Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ и вынесение общего множителя за скобки:
$ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) $
$ a^2 + 5a = a(a + 5) $
$ a^2 - 3a = a(a - 3) $
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$ \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a + 5)} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} $
Выполним умножение в первом члене, сократив на общий множитель $(a + 5)$:
$ \frac{(a - 5)\cancel{(a + 5)}}{a + 3} \cdot \frac{1}{a\cancel{(a + 5)}} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} = \frac{a - 5}{a(a + 3)} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} $
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $a(a + 3)(a - 3)$:
$ \frac{(a - 5)(a - 3)}{a(a + 3)(a - 3)} - \frac{(a + 5)(a + 3)}{a(a - 3)(a + 3)} $
Раскроем скобки в числителях:
$ (a - 5)(a - 3) = a^2 - 3a - 5a + 15 = a^2 - 8a + 15 $
$ (a + 5)(a + 3) = a^2 + 3a + 5a + 15 = a^2 + 8a + 15 $
Подставим полученные выражения в числитель и выполним вычитание:
$ \frac{(a^2 - 8a + 15) - (a^2 + 8a + 15)}{a(a + 3)(a - 3)} = \frac{a^2 - 8a + 15 - a^2 - 8a - 15}{a(a + 3)(a - 3)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{-16a}{a(a + 3)(a - 3)} $
Сократим дробь на $a$ (при $a \neq 0$):
$ \frac{-16}{(a + 3)(a - 3)} = \frac{-16}{a^2 - 9} $
Вынесем знак минус из знаменателя:
$ \frac{-16}{-(9 - a^2)} = \frac{16}{9 - a^2} $
Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Таким образом, ЛЧ = ПЧ.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем второе равенство, преобразовав его левую часть (ЛЧ).
ЛЧ = $ \frac{b - c}{a + b} - \frac{ab - b^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - b^2} $
Сначала упростим произведение дробей. Разложим числители и знаменатели на множители:
$ ab - b^2 = b(a - b) $
$ a^2 - ac = a(a - c) $
$ a^2 - c^2 = (a - c)(a + c) $
$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $
Подставим разложения в произведение:
$ \frac{b(a - b)}{a(a - c)} \cdot \frac{(a - c)(a + c)}{(a - b)(a + b)} $
Сократим общие множители $(a - b)$ и $(a - c)$:
$ \frac{b\cancel{(a - b)}}{a\cancel{(a - c)}} \cdot \frac{\cancel{(a - c)}(a + c)}{\cancel{(a - b)}(a + b)} = \frac{b(a + c)}{a(a + b)} $
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в левую часть исходного равенства:
$ \frac{b - c}{a + b} - \frac{b(a + c)}{a(a + b)} $
Приведем дроби к общему знаменателю $a(a + b)$:
$ \frac{a(b - c)}{a(a + b)} - \frac{b(a + c)}{a(a + b)} = \frac{a(b - c) - b(a + c)}{a(a + b)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{ab - ac - ab - bc}{a(a + b)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{-ac - bc}{a(a + b)} $
Вынесем общий множитель $-c$ в числителе:
$ \frac{-c(a + b)}{a(a + b)} $
Сократим дробь на $(a + b)$ (при $a+b \neq 0$):
$ \frac{-c\cancel{(a + b)}}{a\cancel{(a + b)}} = -\frac{c}{a} $
Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Таким образом, ЛЧ = ПЧ.
Ответ: Равенство доказано.