Номер 41.20, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.20. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3x-3}{x^2-4} - \frac{3}{x-2}$ при $x = -1,5$;

2) $\left(\frac{y^2-3y}{y^2-6y+9} - \frac{3y+9}{y^2-9}\right) \cdot \left(1-\frac{3}{y}\right)$ при $y = -3,6.$

1)

Для вычисления значения выражения $\frac{x+2}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{3x-3}{x^2-4} - \frac{3}{x-2}$ при $x = -1,5$, сначала упростим его. Для этого разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов) и вынесение общего множителя.

Знаменатель первой дроби: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Числитель второй дроби: $3x - 3 = 3(x-1)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Подставим разложенные выражения обратно:

$\frac{x+2}{(x-1)^2} \cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} - \frac{3}{x-2}$

Выполним умножение и сократим общие множители:

$\frac{\sout{x+2}}{(x-1)^{\sout{2}}} \cdot \frac{3(\sout{x-1})}{(x-2)(\sout{x+2})} - \frac{3}{x-2} = \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$ и выполним вычитание:

$\frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3 - 3(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3 - 3x + 3}{(x-1)(x-2)} = \frac{6 - 3x}{(x-1)(x-2)}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 (или -3) за скобки и сократим дробь:

$\frac{3(2-x)}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3}{x-1}$

Теперь подставим значение $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{-3}{-1,5 - 1} = \frac{-3}{-2,5} = \frac{3}{2,5} = \frac{30}{25} = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: 1,2

2)

Для вычисления значения выражения $(\frac{y^2-3y}{y^2-6y+9} - \frac{3y+9}{y^2-9}) \cdot (1-\frac{3}{y})$ при $y = -3,6$, сначала упростим его, выполнив действия в скобках.

Упростим выражение в первой скобке. Разложим числители и знаменатели на множители:

$y^2 - 3y = y(y-3)$

$y^2 - 6y + 9 = (y-3)^2$

$3y + 9 = 3(y+3)$

$y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$

Подставим и сократим дроби:

$\frac{y(y-3)}{(y-3)^2} - \frac{3(y+3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{y}{y-3} - \frac{3}{y-3}$

Выполним вычитание:

$\frac{y-3}{y-3} = 1$

Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю:

$1 - \frac{3}{y} = \frac{y}{y} - \frac{3}{y} = \frac{y-3}{y}$

Теперь перемножим результаты упрощения обеих скобок:

$1 \cdot \frac{y-3}{y} = \frac{y-3}{y}$

Подставим значение $y = -3,6$ в полученное выражение:

$\frac{-3,6 - 3}{-3,6} = \frac{-6,6}{-3,6} = \frac{6,6}{3,6} = \frac{66}{36}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{66}{36} = \frac{11}{6}$

Ответ: $\frac{11}{6}$