Номер 41.15, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.15. Убедитесь, что значение выражения не зависит от допустимых значений переменной:

1) $\frac{(x - 2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x - 2} \cdot \frac{-x}{2 - x}$

2) $\frac{(3x + 2)^3}{x - 3} : \frac{3x + 2}{(x - 3)^2} \cdot \frac{5}{(x - 3)(3x + 2)^2}$

1)Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x. Знаменатели дробей в выражении не могут быть равны нулю:
$3x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$
Таким образом, выражение определено для всех действительных значений x, кроме $x=0$ и $x=2$.
Теперь упростим данное выражение:
$\frac{(x-2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x-2} \cdot \frac{-x}{2-x}$
Заметим, что в знаменателе последней дроби $2-x = -(x-2)$. Подставим это в выражение:
$\frac{(x-2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x-2} \cdot \frac{-x}{-(x-2)} = \frac{(x-2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x-2} \cdot \frac{x}{x-2}$
Перемножим числители и знаменатели всех дробей:
$\frac{(x-2)^2 \cdot 4x^3 \cdot x}{3x^4 \cdot (x-2) \cdot (x-2)} = \frac{4x^4(x-2)^2}{3x^4(x-2)^2}$
Сократим общие множители $x^4$ и $(x-2)^2$, что возможно в рамках ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$):
$\frac{4\cancel{x^4}\cancel{(x-2)^2}}{3\cancel{x^4}\cancel{(x-2)^2}} = \frac{4}{3}$
Полученное значение является константой, следовательно, значение исходного выражения не зависит от допустимых значений переменной.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

2)Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, и делитель при операции деления также не может быть равен нулю.
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$(x - 3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$
$(x - 3)(3x + 2)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $3x + 2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}$
Делитель $\frac{3x+2}{(x-3)^2}$ не равен нулю, если его числитель $3x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{2}{3}$.
Итак, ОДЗ: все действительные числа, кроме $x=3$ и $x=-\frac{2}{3}$.
Упростим выражение, выполняя действия последовательно слева направо.
$\frac{(3x + 2)^3}{x - 3} : \frac{(3x + 2)}{(x - 3)^2} \cdot \frac{5}{(x - 3)(3x + 2)^2}$
1. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{(3x + 2)^3}{x - 3} : \frac{(3x + 2)}{(x - 3)^2} = \frac{(3x + 2)^3}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3)^2}{3x + 2} = \frac{(3x + 2)^3 (x - 3)^2}{(x - 3)(3x + 2)}$
Сократим общие множители:
$(3x + 2)^{3-1} \cdot (x - 3)^{2-1} = (3x + 2)^2(x - 3)$
2. Результат умножим на оставшуюся дробь:
$((3x + 2)^2(x - 3)) \cdot \frac{5}{(x - 3)(3x + 2)^2} = \frac{(3x + 2)^2(x - 3) \cdot 5}{(x - 3)(3x + 2)^2}$
Сократим общие множители $(x-3)$ и $(3x+2)^2$, что возможно в рамках ОДЗ:
$\frac{\cancel{(3x+2)^2}\cancel{(x-3)} \cdot 5}{\cancel{(x-3)}\cancel{(3x+2)^2}} = 5$
Полученное значение является константой, следовательно, значение исходного выражения не зависит от допустимых значений переменной.
Ответ: 5.