Номер 41.8, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.8. Найдите x из пропорции:

1) $(a^2 - 4) : (2a - 4) = x : (a + 2);$

2) $(a^2 - 1)^2 : x = (a^2 - 1) : (a^3 + 1).$

1) Дана пропорция $(a^2 - 4) : (2a - 4) = x : (a + 2)$.

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Запишем это в виде уравнения:

$(a^2 - 4) \cdot (a + 2) = (2a - 4) \cdot x$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $(2a - 4)$:

$x = \frac{(a^2 - 4)(a + 2)}{2a - 4}$.

Теперь упростим полученное выражение. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель. Выражение $a^2 - 4$ является разностью квадратов, а в выражении $2a - 4$ можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$

$2a - 4 = 2(a - 2)$

Подставим разложенные на множители выражения обратно в формулу для $x$:

$x = \frac{(a - 2)(a + 2)(a + 2)}{2(a - 2)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(a - 2)$, предполагая, что $a \neq 2$, чтобы знаменатель не был равен нулю.

$x = \frac{\cancel{(a - 2)}(a + 2)(a + 2)}{2\cancel{(a - 2)}} = \frac{(a + 2)^2}{2}$.

Ответ: $x = \frac{(a + 2)^2}{2}$.

2) Дана пропорция $(a^2 - 1)^2 : x = (a^2 - 1) : (a^3 + 1)$.

Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$(a^2 - 1)^2 \cdot (a^3 + 1) = x \cdot (a^2 - 1)$.

Выразим $x$ из этого равенства. Для этого разделим обе части на $(a^2 - 1)$:

$x = \frac{(a^2 - 1)^2 (a^3 + 1)}{a^2 - 1}$.

Сократим дробь на $(a^2 - 1)$, при условии, что $a^2 - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

$x = \frac{\cancel{(a^2 - 1)}(a^2 - 1) (a^3 + 1)}{\cancel{a^2 - 1}} = (a^2 - 1)(a^3 + 1)$.

Полученное выражение можно оставить в этом виде или разложить на множители, используя формулу разности квадратов и формулу суммы кубов:

$x = (a - 1)(a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1) = (a - 1)(a + 1)^2(a^2 - a + 1)$.

Обе формы записи ответа верны, но первая является более компактной.

Ответ: $x = (a^2 - 1)(a^3 + 1)$.