Номер 41.4, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.4. 1)

$\left( \frac{x}{xy - y^2} - \frac{y}{x^2 - xy} \right) : \frac{x^2 - y^2}{5xy};$

2)

$\left( \frac{4p - 8}{p^3 - 2p^2} - \frac{q + 2}{q^3 + 2q^2} \right) \cdot \frac{p}{2q - p};$

3)

$\left( \frac{a}{b^2 - ab} + \frac{b}{a^2 - ab} \right) \cdot \frac{3ab}{b - a};$

4)

$\left( \frac{a - 7b}{ab - b^2} + \frac{7a + b}{a^2 - ab} \right) : \frac{a^2 + b^2}{a - b}.$

1)

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители:

$xy - y^2 = y(x - y)$

$x^2 - xy = x(x - y)$

Общий знаменатель равен $xy(x - y)$.

$\frac{x}{xy - y^2} - \frac{y}{x^2 - xy} = \frac{x}{y(x - y)} - \frac{y}{x(x - y)} = \frac{x \cdot x - y \cdot y}{xy(x - y)} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x - y)}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$(\frac{x^2 - y^2}{xy(x - y)}) : \frac{x^2 - y^2}{5xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x - y)} \cdot \frac{5xy}{x^2 - y^2}$

Сократим одинаковые множители $(x^2 - y^2)$ и $xy$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{x^2 - y^2}}{\cancel{xy}(x - y)} \cdot \frac{5\cancel{xy}}{\cancel{x^2 - y^2}} = \frac{5}{x-y}$

Ответ: $\frac{5}{x-y}$

2)

Упростим выражение в скобках, разложив на множители числители и знаменатели дробей:

$\frac{4p - 8}{p^3 - 2p^2} = \frac{4(p - 2)}{p^2(p - 2)} = \frac{4}{p^2}$ (при $p \neq 2$)

$\frac{q + 2}{q^3 + 2q^2} = \frac{q + 2}{q^2(q + 2)} = \frac{1}{q^2}$ (при $q \neq -2$)

Подставим упрощенные дроби в скобки и приведем их к общему знаменателю:

$\frac{4}{p^2} - \frac{1}{q^2} = \frac{4q^2 - p^2}{p^2q^2}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4q^2 - p^2 = (2q)^2 - p^2 = (2q - p)(2q + p)$

Выражение в скобках равно $\frac{(2q - p)(2q + p)}{p^2q^2}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{(2q - p)(2q + p)}{p^2q^2} \cdot \frac{p}{2q - p}$

Сократим одинаковые множители $(2q - p)$ и $p$:

$\frac{\cancel{(2q - p)}(2q + p)}{p^{\cancel{2}}q^2} \cdot \frac{\cancel{p}}{\cancel{2q - p}} = \frac{2q + p}{pq^2}$

Ответ: $\frac{2q + p}{pq^2}$

3)

Рассмотрим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$b^2 - ab = b(b - a) = -b(a - b)$

$a^2 - ab = a(a - b)$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab(a - b)$:

$\frac{a}{b^2 - ab} + \frac{b}{a^2 - ab} = \frac{a}{-b(a - b)} + \frac{b}{a(a - b)} = -\frac{a}{b(a - b)} + \frac{b}{a(a - b)} = \frac{-a \cdot a + b \cdot b}{ab(a - b)} = \frac{b^2 - a^2}{ab(a - b)}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим дробь:

$\frac{(b - a)(b + a)}{ab(a - b)} = \frac{-(a - b)(a + b)}{ab(a - b)} = -\frac{a + b}{ab}$ (при $a \neq b$)

Теперь выполним умножение:

$-\frac{a + b}{ab} \cdot \frac{3ab}{b - a}$

Сократим $ab$ и преобразуем знаменатель:

$-\frac{a + b}{\cancel{ab}} \cdot \frac{3\cancel{ab}}{b - a} = -\frac{3(a + b)}{b - a} = \frac{3(a + b)}{-(b - a)} = \frac{3(a + b)}{a - b}$

Ответ: $\frac{3(a+b)}{a-b}$

4)

Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$ab - b^2 = b(a - b)$

$a^2 - ab = a(a - b)$

Общий знаменатель равен $ab(a - b)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{a - 7b}{b(a - b)} + \frac{7a + b}{a(a - b)} = \frac{a(a - 7b) + b(7a + b)}{ab(a - b)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 - 7ab + 7ab + b^2}{ab(a - b)} = \frac{a^2 + b^2}{ab(a - b)}$

Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2 + b^2}{ab(a - b)} : \frac{a^2 + b^2}{a - b} = \frac{a^2 + b^2}{ab(a - b)} \cdot \frac{a - b}{a^2 + b^2}$

Сократим одинаковые множители $(a^2 + b^2)$ и $(a - b)$:

$\frac{\cancel{a^2 + b^2}}{ab(\cancel{a - b})} \cdot \frac{\cancel{a - b}}{\cancel{a^2 + b^2}} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$