Номер 41.6, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.6. 1)

$\frac{n - c}{a + n} - \frac{an - n^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - n^2} + 11.5n$ при $a = 2$; $n = -1$; $c = 3$;

2)

$\frac{n^2 - 4}{x^2 - 9} : \frac{n^2 - 2n}{xy + 3y} + \frac{2 - y}{x - 3}$ при $n = 3$; $x = -4$; $y = -5$.

1) Сначала упростим данное выражение, выполняя действия по порядку: сначала умножение, затем вычитание и сложение.

1. Выполним умножение дробей: $ \frac{an-n^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-n^2} $.

Для этого разложим числители и знаменатели на множители:

$ an-n^2 = n(a-n) $

$ a^2-ac = a(a-c) $

$ a^2-c^2 = (a-c)(a+c) $ (формула разности квадратов)

$ a^2-n^2 = (a-n)(a+n) $ (формула разности квадратов)

Подставим разложения в произведение и сократим общие множители:

$ \frac{n(a-n)}{a(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{(a-n)(a+n)} = \frac{n \cdot \sout{(a-n)} \cdot \sout{(a-c)}(a+c)}{a \cdot \sout{(a-c)} \cdot \sout{(a-n)}(a+n)} = \frac{n(a+c)}{a(a+n)} $

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{n-c}{a+n} - \frac{n(a+c)}{a(a+n)} + 11,5n $

3. Приведем первые две дроби к общему знаменателю $ a(a+n) $ и выполним вычитание:

$ \frac{a(n-c)}{a(a+n)} - \frac{n(a+c)}{a(a+n)} + 11,5n = \frac{a(n-c) - n(a+c)}{a(a+n)} + 11,5n $

4. Упростим числитель полученной дроби, раскрыв скобки:

$ a(n-c) - n(a+c) = an - ac - an - nc = -ac - nc = -c(a+n) $

5. Подставим упрощенный числитель обратно в выражение и сократим дробь:

$ \frac{-c(a+n)}{a(a+n)} + 11,5n = -\frac{c}{a} + 11,5n $

6. Теперь подставим числовые значения $ a=2, n=-1, c=3 $ в упрощенное выражение:

$ -\frac{3}{2} + 11,5 \cdot (-1) = -1,5 - 11,5 = -13 $

Ответ: -13.

2) Сначала упростим данное выражение, выполняя действия по порядку: сначала деление, затем сложение.

1. Выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{n^2-4}{x^2-9} : \frac{n^2-2n}{xy+3y} = \frac{n^2-4}{x^2-9} \cdot \frac{xy+3y}{n^2-2n} $

Разложим числители и знаменатели на множители:

$ n^2-4 = (n-2)(n+2) $

$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $

$ xy+3y = y(x+3) $

$ n^2-2n = n(n-2) $

Подставим разложения в произведение и сократим:

$ \frac{(n-2)(n+2)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{y(x+3)}{n(n-2)} = \frac{\sout{(n-2)}(n+2) \cdot y \sout{(x+3)}}{(x-3)\sout{(x+3)} \cdot n \sout{(n-2)}} = \frac{y(n+2)}{n(x-3)} $

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{y(n+2)}{n(x-3)} + \frac{2-y}{x-3} $

3. Приведем дроби к общему знаменателю $ n(x-3) $ и выполним сложение:

$ \frac{y(n+2)}{n(x-3)} + \frac{n(2-y)}{n(x-3)} = \frac{y(n+2) + n(2-y)}{n(x-3)} $

4. Упростим числитель, раскрыв скобки:

$ y(n+2) + n(2-y) = yn + 2y + 2n - ny = 2y + 2n = 2(y+n) $

5. Подставим упрощенный числитель обратно. Итоговое упрощенное выражение:

$ \frac{2(y+n)}{n(x-3)} $

6. Теперь подставим числовые значения $ n=3, x=-4, y=-5 $:

$ \frac{2(-5+3)}{3(-4-3)} = \frac{2(-2)}{3(-7)} = \frac{-4}{-21} = \frac{4}{21} $

Ответ: $ \frac{4}{21} $.