Номер 41.2, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.2.

1) $ (\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5} $

2) $ \frac{y+3}{y^2+9} \cdot (\frac{y+3}{y-3} + \frac{y-3}{y+3}) $

1) $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5}$

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(2m-1)(2m+1) = 4m^2-1$.

$\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)(2m+1)}{(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m-1)(2m-1)}{(2m+1)(2m-1)} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}$

Раскроем числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(2m+1)^2 - (2m-1)^2 = ((2m+1)-(2m-1))((2m+1)+(2m-1)) = (2m+1-2m+1)(2m+1+2m-1) = (2)(4m) = 8m$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{8m}{4m^2-1}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{8m}{4m^2-1} : \frac{4m}{10m-5} = \frac{8m}{4m^2-1} \cdot \frac{10m-5}{4m}$

Разложим знаменатель первой дроби и числитель второй на множители:

$4m^2-1 = (2m-1)(2m+1)$

$10m-5 = 5(2m-1)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m}$

Сократим общие множители $8m$ и $4m$ (сокращаются на $4m$, в числителе остается $2$), а также $(2m-1)$:

$\frac{2 \cdot 5}{2m+1} = \frac{10}{2m+1}$

Область допустимых значений переменной $m$ определяется из условий: $2m-1 \neq 0$, $2m+1 \neq 0$, $4m \neq 0$. Следовательно, $m \neq \frac{1}{2}$, $m \neq -\frac{1}{2}$, $m \neq 0$.

Ответ: $\frac{10}{2m+1}$

2) $\frac{y+3}{y^2+9} \cdot (\frac{y+3}{y-3} + \frac{y-3}{y+3})$

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(y-3)(y+3) = y^2-9$.

$\frac{y+3}{y-3} + \frac{y-3}{y+3} = \frac{(y+3)(y+3)}{(y-3)(y+3)} + \frac{(y-3)(y-3)}{(y+3)(y-3)} = \frac{(y+3)^2 + (y-3)^2}{(y-3)(y+3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(y+3)^2 = y^2 + 6y + 9$

$(y-3)^2 = y^2 - 6y + 9$

$(y^2 + 6y + 9) + (y^2 - 6y + 9) = 2y^2 + 18 = 2(y^2+9)$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2(y^2+9)}{y^2-9}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{y+3}{y^2+9} \cdot \frac{2(y^2+9)}{y^2-9}$

Сократим общий множитель $(y^2+9)$:

$\frac{y+3}{1} \cdot \frac{2}{y^2-9}$

Разложим знаменатель $y^2-9$ на множители по формуле разности квадратов: $y^2-9 = (y-3)(y+3)$.

$\frac{y+3}{1} \cdot \frac{2}{(y-3)(y+3)}$

Сократим общий множитель $(y+3)$:

$\frac{2}{y-3}$

Область допустимых значений переменной $y$ определяется из условий: $y^2+9 \neq 0$ (верно для любого действительного $y$), $y-3 \neq 0$, $y+3 \neq 0$. Следовательно, $y \neq 3$ и $y \neq -3$.

Ответ: $\frac{2}{y-3}$