Номер 41.7, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.7. Выполните действия:

1) $(2a + 1 - \frac{1}{1 - 2a}) : (2a - \frac{4a^2}{2a - 1});$

2) $(y + 1)^2 \cdot (\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y^2 - 1} - \frac{1}{y - 1});$

3) $1 - (\frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c + 2}) \cdot (c - \frac{3c + 2}{4});$

4) $1 + (1 - \frac{9x^2 + 4}{12x}) : (\frac{1}{3x} - \frac{1}{2}).$

1) Для решения данного примера выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражения в скобках, приводя их к общему знаменателю.

Первое действие (в первой скобке):
$2a + 1 - \frac{1}{1 - 2a} = 2a + 1 + \frac{1}{2a - 1} = \frac{(2a + 1)(2a - 1)}{2a - 1} + \frac{1}{2a - 1} = \frac{4a^2 - 1 + 1}{2a - 1} = \frac{4a^2}{2a - 1}$

Второе действие (во второй скобке):
$2a - \frac{4a^2}{2a - 1} = \frac{2a(2a - 1)}{2a - 1} - \frac{4a^2}{2a - 1} = \frac{4a^2 - 2a - 4a^2}{2a - 1} = \frac{-2a}{2a - 1}$

Третье действие (деление):
$\frac{4a^2}{2a - 1} : \frac{-2a}{2a - 1} = \frac{4a^2}{2a - 1} \cdot \frac{2a - 1}{-2a} = \frac{4a^2}{-2a} = -2a$
Область допустимых значений: $2a - 1 \neq 0 \implies a \neq \frac{1}{2}$ и $-2a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Ответ: $-2a$.

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.

$\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y^2 - 1} - \frac{1}{y - 1} = \frac{1(y - 1)}{(y - 1)(y + 1)} + \frac{1}{(y - 1)(y + 1)} - \frac{1(y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{y - 1 + 1 - (y + 1)}{y^2 - 1} = \frac{y - y - 1}{y^2 - 1} = \frac{-1}{y^2 - 1}$

Теперь выполним умножение:
$(y + 1)^2 \cdot \left(\frac{-1}{y^2 - 1}\right) = (y + 1)^2 \cdot \frac{-1}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{-(y+1)}{y-1} = \frac{y+1}{1-y}$
Область допустимых значений: $y^2 - 1 \neq 0 \implies y \neq \pm 1$.
Ответ: $\frac{y+1}{1-y}$.

3) Выполним действия по порядку. Сначала действия в скобках.

Первое действие (вычитание в первых скобках):
$\frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c + 2} = \frac{2(c + 2) - 2(c - 2)}{(c - 2)(c + 2)} = \frac{2c + 4 - 2c + 4}{c^2 - 4} = \frac{8}{c^2 - 4}$

Второе действие (вычитание во вторых скобках):
$c - \frac{3c + 2}{4} = \frac{4c}{4} - \frac{3c + 2}{4} = \frac{4c - 3c - 2}{4} = \frac{c - 2}{4}$

Третье действие (умножение):
$\frac{8}{c^2 - 4} \cdot \frac{c - 2}{4} = \frac{8}{(c - 2)(c + 2)} \cdot \frac{c - 2}{4} = \frac{2}{c + 2}$

Четвертое действие (вычитание):
$1 - \frac{2}{c + 2} = \frac{c + 2}{c + 2} - \frac{2}{c + 2} = \frac{c + 2 - 2}{c + 2} = \frac{c}{c + 2}$
Область допустимых значений: $c \neq \pm 2$.
Ответ: $\frac{c}{c+2}$.

4) Решим по действиям. Сначала действия в скобках, затем деление и сложение.

Первое действие (в первых скобках):
$1 - \frac{9x^2 + 4}{12x} = \frac{12x - (9x^2 + 4)}{12x} = \frac{12x - 9x^2 - 4}{12x} = -\frac{9x^2 - 12x + 4}{12x}$
Заметим, что в числителе полный квадрат: $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.
Значит, выражение равно $-\frac{(3x - 2)^2}{12x}$.

Второе действие (во вторых скобках):
$\frac{1}{3x} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3x}{6x}$

Третье действие (деление):
$\left(-\frac{(3x - 2)^2}{12x}\right) : \left(\frac{2 - 3x}{6x}\right) = -\frac{(3x - 2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{2 - 3x} = -\frac{(3x - 2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{-(3x - 2)} = \frac{(3x - 2)^2 \cdot 6x}{12x \cdot (3x - 2)} = \frac{3x - 2}{2}$

Четвертое действие (сложение):
$1 + \frac{3x - 2}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3x - 2}{2} = \frac{2 + 3x - 2}{2} = \frac{3x}{2}$
Область допустимых значений: $x \neq 0$ и $x \neq \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{3x}{2}$.