Страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.4. 1)

$\left( \frac{x}{xy - y^2} - \frac{y}{x^2 - xy} \right) : \frac{x^2 - y^2}{5xy};$

2)

$\left( \frac{4p - 8}{p^3 - 2p^2} - \frac{q + 2}{q^3 + 2q^2} \right) \cdot \frac{p}{2q - p};$

3)

$\left( \frac{a}{b^2 - ab} + \frac{b}{a^2 - ab} \right) \cdot \frac{3ab}{b - a};$

4)

$\left( \frac{a - 7b}{ab - b^2} + \frac{7a + b}{a^2 - ab} \right) : \frac{a^2 + b^2}{a - b}.$

1)

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители:

$xy - y^2 = y(x - y)$

$x^2 - xy = x(x - y)$

Общий знаменатель равен $xy(x - y)$.

$\frac{x}{xy - y^2} - \frac{y}{x^2 - xy} = \frac{x}{y(x - y)} - \frac{y}{x(x - y)} = \frac{x \cdot x - y \cdot y}{xy(x - y)} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x - y)}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$(\frac{x^2 - y^2}{xy(x - y)}) : \frac{x^2 - y^2}{5xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy(x - y)} \cdot \frac{5xy}{x^2 - y^2}$

Сократим одинаковые множители $(x^2 - y^2)$ и $xy$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{x^2 - y^2}}{\cancel{xy}(x - y)} \cdot \frac{5\cancel{xy}}{\cancel{x^2 - y^2}} = \frac{5}{x-y}$

Ответ: $\frac{5}{x-y}$

2)

Упростим выражение в скобках, разложив на множители числители и знаменатели дробей:

$\frac{4p - 8}{p^3 - 2p^2} = \frac{4(p - 2)}{p^2(p - 2)} = \frac{4}{p^2}$ (при $p \neq 2$)

$\frac{q + 2}{q^3 + 2q^2} = \frac{q + 2}{q^2(q + 2)} = \frac{1}{q^2}$ (при $q \neq -2$)

Подставим упрощенные дроби в скобки и приведем их к общему знаменателю:

$\frac{4}{p^2} - \frac{1}{q^2} = \frac{4q^2 - p^2}{p^2q^2}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4q^2 - p^2 = (2q)^2 - p^2 = (2q - p)(2q + p)$

Выражение в скобках равно $\frac{(2q - p)(2q + p)}{p^2q^2}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{(2q - p)(2q + p)}{p^2q^2} \cdot \frac{p}{2q - p}$

Сократим одинаковые множители $(2q - p)$ и $p$:

$\frac{\cancel{(2q - p)}(2q + p)}{p^{\cancel{2}}q^2} \cdot \frac{\cancel{p}}{\cancel{2q - p}} = \frac{2q + p}{pq^2}$

Ответ: $\frac{2q + p}{pq^2}$

3)

Рассмотрим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$b^2 - ab = b(b - a) = -b(a - b)$

$a^2 - ab = a(a - b)$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab(a - b)$:

$\frac{a}{b^2 - ab} + \frac{b}{a^2 - ab} = \frac{a}{-b(a - b)} + \frac{b}{a(a - b)} = -\frac{a}{b(a - b)} + \frac{b}{a(a - b)} = \frac{-a \cdot a + b \cdot b}{ab(a - b)} = \frac{b^2 - a^2}{ab(a - b)}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим дробь:

$\frac{(b - a)(b + a)}{ab(a - b)} = \frac{-(a - b)(a + b)}{ab(a - b)} = -\frac{a + b}{ab}$ (при $a \neq b$)

Теперь выполним умножение:

$-\frac{a + b}{ab} \cdot \frac{3ab}{b - a}$

Сократим $ab$ и преобразуем знаменатель:

$-\frac{a + b}{\cancel{ab}} \cdot \frac{3\cancel{ab}}{b - a} = -\frac{3(a + b)}{b - a} = \frac{3(a + b)}{-(b - a)} = \frac{3(a + b)}{a - b}$

Ответ: $\frac{3(a+b)}{a-b}$

4)

Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$ab - b^2 = b(a - b)$

$a^2 - ab = a(a - b)$

Общий знаменатель равен $ab(a - b)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{a - 7b}{b(a - b)} + \frac{7a + b}{a(a - b)} = \frac{a(a - 7b) + b(7a + b)}{ab(a - b)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 - 7ab + 7ab + b^2}{ab(a - b)} = \frac{a^2 + b^2}{ab(a - b)}$

Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2 + b^2}{ab(a - b)} : \frac{a^2 + b^2}{a - b} = \frac{a^2 + b^2}{ab(a - b)} \cdot \frac{a - b}{a^2 + b^2}$

Сократим одинаковые множители $(a^2 + b^2)$ и $(a - b)$:

$\frac{\cancel{a^2 + b^2}}{ab(\cancel{a - b})} \cdot \frac{\cancel{a - b}}{\cancel{a^2 + b^2}} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

Найдите значения выражений (41.5–41.6):

41.5.

1. $\frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a}$ при 1) $a = 2$; 2) $a = -4$;

2. $\frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2}$ при 1) $x = -1$; 2) $x = -2,5$.

1. Сначала упростим выражение $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a+5}{a^2 - 3a} $.

Для этого разложим на множители числители и знаменатели дробей:

$a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$ (разность квадратов).

$a^2 + 5a = a(a+5)$ (вынесение общего множителя).

$a^2 - 3a = a(a-3)$ (вынесение общего множителя).

Подставим разложения в выражение и выполним умножение:

$ \frac{(a-5)(a+5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a+5)} - \frac{a+5}{a(a-3)} = \frac{(a-5)\cancel{(a+5)}}{(a + 3) \cdot a\cancel{(a+5)}} - \frac{a+5}{a(a-3)} = \frac{a-5}{a(a+3)} - \frac{a+5}{a(a-3)} $.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $a(a+3)(a-3)$:

$ \frac{(a-5)(a-3)}{a(a+3)(a-3)} - \frac{(a+5)(a+3)}{a(a-3)(a+3)} = \frac{(a^2 - 3a - 5a + 15) - (a^2 + 3a + 5a + 15)}{a(a^2-9)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 - 8a + 15 - a^2 - 8a - 15}{a(a^2-9)} = \frac{-16a}{a(a^2-9)} $.

Сократим дробь на $a$ (при $a \neq 0$):

$ \frac{-16}{a^2 - 9} $.

Теперь найдем значения упрощенного выражения при заданных значениях $a$.

1) при $a = 2$

$ \frac{-16}{2^2 - 9} = \frac{-16}{4 - 9} = \frac{-16}{-5} = 3,2 $.

2) при $a = -4$

$ \frac{-16}{(-4)^2 - 9} = \frac{-16}{16 - 9} = \frac{-16}{7} = -\frac{16}{7} $.

Ответ: 1) 3,2; 2) $-\frac{16}{7}$.

2. Сначала упростим выражение $ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3+x}{4x+2} $.

Порядок действий требует сначала выполнить деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} \cdot \frac{4x+2}{3+x} $.

Разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях:

$x^2 + 3x = x(x+3)$;

$4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1)$;

$4x+2 = 2(2x+1)$;

$1-2x = -(2x-1)$.

Подставим разложения в часть выражения с умножением и сократим:

$ \frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{2(2x+1)}{x+3} = \frac{x\cancel{(x+3)}}{(2x-1)\cancel{(2x+1)}} \cdot \frac{2\cancel{(2x+1)}}{\cancel{x+3}} = \frac{2x}{2x-1} $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{2x}{2x-1} = \frac{-(2x-1)}{2x+1} + \frac{2x}{2x-1} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2x+1)(2x-1) = 4x^2-1$:

$ \frac{-(2x-1)(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)} + \frac{2x(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{-(2x-1)^2 + 2x(2x+1)}{4x^2-1} $.

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{-(4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 + 2x)}{4x^2 - 1} = \frac{-4x^2 + 4x - 1 + 4x^2 + 2x}{4x^2 - 1} = \frac{6x - 1}{4x^2 - 1} $.

Теперь найдем значения упрощенного выражения при заданных значениях $x$.

1) при $x = -1$

$ \frac{6(-1) - 1}{4(-1)^2 - 1} = \frac{-6 - 1}{4(1) - 1} = \frac{-7}{4 - 1} = \frac{-7}{3} = -\frac{7}{3} $.

2) при $x = -2,5$

$ \frac{6(-2,5) - 1}{4(-2,5)^2 - 1} = \frac{-15 - 1}{4(6,25) - 1} = \frac{-16}{25 - 1} = \frac{-16}{24} = -\frac{2}{3} $.

Ответ: 1) $-\frac{7}{3}$; 2) $-\frac{2}{3}$.

41.6. 1)

$\frac{n - c}{a + n} - \frac{an - n^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - n^2} + 11.5n$ при $a = 2$; $n = -1$; $c = 3$;

2)

$\frac{n^2 - 4}{x^2 - 9} : \frac{n^2 - 2n}{xy + 3y} + \frac{2 - y}{x - 3}$ при $n = 3$; $x = -4$; $y = -5$.

1) Сначала упростим данное выражение, выполняя действия по порядку: сначала умножение, затем вычитание и сложение.

1. Выполним умножение дробей: $ \frac{an-n^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-n^2} $.

Для этого разложим числители и знаменатели на множители:

$ an-n^2 = n(a-n) $

$ a^2-ac = a(a-c) $

$ a^2-c^2 = (a-c)(a+c) $ (формула разности квадратов)

$ a^2-n^2 = (a-n)(a+n) $ (формула разности квадратов)

Подставим разложения в произведение и сократим общие множители:

$ \frac{n(a-n)}{a(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{(a-n)(a+n)} = \frac{n \cdot \sout{(a-n)} \cdot \sout{(a-c)}(a+c)}{a \cdot \sout{(a-c)} \cdot \sout{(a-n)}(a+n)} = \frac{n(a+c)}{a(a+n)} $

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{n-c}{a+n} - \frac{n(a+c)}{a(a+n)} + 11,5n $

3. Приведем первые две дроби к общему знаменателю $ a(a+n) $ и выполним вычитание:

$ \frac{a(n-c)}{a(a+n)} - \frac{n(a+c)}{a(a+n)} + 11,5n = \frac{a(n-c) - n(a+c)}{a(a+n)} + 11,5n $

4. Упростим числитель полученной дроби, раскрыв скобки:

$ a(n-c) - n(a+c) = an - ac - an - nc = -ac - nc = -c(a+n) $

5. Подставим упрощенный числитель обратно в выражение и сократим дробь:

$ \frac{-c(a+n)}{a(a+n)} + 11,5n = -\frac{c}{a} + 11,5n $

6. Теперь подставим числовые значения $ a=2, n=-1, c=3 $ в упрощенное выражение:

$ -\frac{3}{2} + 11,5 \cdot (-1) = -1,5 - 11,5 = -13 $

Ответ: -13.

2) Сначала упростим данное выражение, выполняя действия по порядку: сначала деление, затем сложение.

1. Выполним деление дробей, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{n^2-4}{x^2-9} : \frac{n^2-2n}{xy+3y} = \frac{n^2-4}{x^2-9} \cdot \frac{xy+3y}{n^2-2n} $

Разложим числители и знаменатели на множители:

$ n^2-4 = (n-2)(n+2) $

$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $

$ xy+3y = y(x+3) $

$ n^2-2n = n(n-2) $

Подставим разложения в произведение и сократим:

$ \frac{(n-2)(n+2)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{y(x+3)}{n(n-2)} = \frac{\sout{(n-2)}(n+2) \cdot y \sout{(x+3)}}{(x-3)\sout{(x+3)} \cdot n \sout{(n-2)}} = \frac{y(n+2)}{n(x-3)} $

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{y(n+2)}{n(x-3)} + \frac{2-y}{x-3} $

3. Приведем дроби к общему знаменателю $ n(x-3) $ и выполним сложение:

$ \frac{y(n+2)}{n(x-3)} + \frac{n(2-y)}{n(x-3)} = \frac{y(n+2) + n(2-y)}{n(x-3)} $

4. Упростим числитель, раскрыв скобки:

$ y(n+2) + n(2-y) = yn + 2y + 2n - ny = 2y + 2n = 2(y+n) $

5. Подставим упрощенный числитель обратно. Итоговое упрощенное выражение:

$ \frac{2(y+n)}{n(x-3)} $

6. Теперь подставим числовые значения $ n=3, x=-4, y=-5 $:

$ \frac{2(-5+3)}{3(-4-3)} = \frac{2(-2)}{3(-7)} = \frac{-4}{-21} = \frac{4}{21} $

Ответ: $ \frac{4}{21} $.

41.7. Выполните действия:

1) $(2a + 1 - \frac{1}{1 - 2a}) : (2a - \frac{4a^2}{2a - 1});$

2) $(y + 1)^2 \cdot (\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y^2 - 1} - \frac{1}{y - 1});$

3) $1 - (\frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c + 2}) \cdot (c - \frac{3c + 2}{4});$

4) $1 + (1 - \frac{9x^2 + 4}{12x}) : (\frac{1}{3x} - \frac{1}{2}).$

1) Для решения данного примера выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражения в скобках, приводя их к общему знаменателю.

Первое действие (в первой скобке):
$2a + 1 - \frac{1}{1 - 2a} = 2a + 1 + \frac{1}{2a - 1} = \frac{(2a + 1)(2a - 1)}{2a - 1} + \frac{1}{2a - 1} = \frac{4a^2 - 1 + 1}{2a - 1} = \frac{4a^2}{2a - 1}$

Второе действие (во второй скобке):
$2a - \frac{4a^2}{2a - 1} = \frac{2a(2a - 1)}{2a - 1} - \frac{4a^2}{2a - 1} = \frac{4a^2 - 2a - 4a^2}{2a - 1} = \frac{-2a}{2a - 1}$

Третье действие (деление):
$\frac{4a^2}{2a - 1} : \frac{-2a}{2a - 1} = \frac{4a^2}{2a - 1} \cdot \frac{2a - 1}{-2a} = \frac{4a^2}{-2a} = -2a$
Область допустимых значений: $2a - 1 \neq 0 \implies a \neq \frac{1}{2}$ и $-2a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Ответ: $-2a$.

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.

$\frac{1}{y + 1} + \frac{1}{y^2 - 1} - \frac{1}{y - 1} = \frac{1(y - 1)}{(y - 1)(y + 1)} + \frac{1}{(y - 1)(y + 1)} - \frac{1(y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{y - 1 + 1 - (y + 1)}{y^2 - 1} = \frac{y - y - 1}{y^2 - 1} = \frac{-1}{y^2 - 1}$

Теперь выполним умножение:
$(y + 1)^2 \cdot \left(\frac{-1}{y^2 - 1}\right) = (y + 1)^2 \cdot \frac{-1}{(y - 1)(y + 1)} = \frac{-(y+1)}{y-1} = \frac{y+1}{1-y}$
Область допустимых значений: $y^2 - 1 \neq 0 \implies y \neq \pm 1$.
Ответ: $\frac{y+1}{1-y}$.

3) Выполним действия по порядку. Сначала действия в скобках.

Первое действие (вычитание в первых скобках):
$\frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c + 2} = \frac{2(c + 2) - 2(c - 2)}{(c - 2)(c + 2)} = \frac{2c + 4 - 2c + 4}{c^2 - 4} = \frac{8}{c^2 - 4}$

Второе действие (вычитание во вторых скобках):
$c - \frac{3c + 2}{4} = \frac{4c}{4} - \frac{3c + 2}{4} = \frac{4c - 3c - 2}{4} = \frac{c - 2}{4}$

Третье действие (умножение):
$\frac{8}{c^2 - 4} \cdot \frac{c - 2}{4} = \frac{8}{(c - 2)(c + 2)} \cdot \frac{c - 2}{4} = \frac{2}{c + 2}$

Четвертое действие (вычитание):
$1 - \frac{2}{c + 2} = \frac{c + 2}{c + 2} - \frac{2}{c + 2} = \frac{c + 2 - 2}{c + 2} = \frac{c}{c + 2}$
Область допустимых значений: $c \neq \pm 2$.
Ответ: $\frac{c}{c+2}$.

4) Решим по действиям. Сначала действия в скобках, затем деление и сложение.

Первое действие (в первых скобках):
$1 - \frac{9x^2 + 4}{12x} = \frac{12x - (9x^2 + 4)}{12x} = \frac{12x - 9x^2 - 4}{12x} = -\frac{9x^2 - 12x + 4}{12x}$
Заметим, что в числителе полный квадрат: $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.
Значит, выражение равно $-\frac{(3x - 2)^2}{12x}$.

Второе действие (во вторых скобках):
$\frac{1}{3x} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3x}{6x}$

Третье действие (деление):
$\left(-\frac{(3x - 2)^2}{12x}\right) : \left(\frac{2 - 3x}{6x}\right) = -\frac{(3x - 2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{2 - 3x} = -\frac{(3x - 2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{-(3x - 2)} = \frac{(3x - 2)^2 \cdot 6x}{12x \cdot (3x - 2)} = \frac{3x - 2}{2}$

Четвертое действие (сложение):
$1 + \frac{3x - 2}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3x - 2}{2} = \frac{2 + 3x - 2}{2} = \frac{3x}{2}$
Область допустимых значений: $x \neq 0$ и $x \neq \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{3x}{2}$.

41.8. Найдите x из пропорции:

1) $(a^2 - 4) : (2a - 4) = x : (a + 2);$

2) $(a^2 - 1)^2 : x = (a^2 - 1) : (a^3 + 1).$

1) Дана пропорция $(a^2 - 4) : (2a - 4) = x : (a + 2)$.

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Запишем это в виде уравнения:

$(a^2 - 4) \cdot (a + 2) = (2a - 4) \cdot x$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $(2a - 4)$:

$x = \frac{(a^2 - 4)(a + 2)}{2a - 4}$.

Теперь упростим полученное выражение. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель. Выражение $a^2 - 4$ является разностью квадратов, а в выражении $2a - 4$ можно вынести общий множитель 2 за скобки:

$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$

$2a - 4 = 2(a - 2)$

Подставим разложенные на множители выражения обратно в формулу для $x$:

$x = \frac{(a - 2)(a + 2)(a + 2)}{2(a - 2)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(a - 2)$, предполагая, что $a \neq 2$, чтобы знаменатель не был равен нулю.

$x = \frac{\cancel{(a - 2)}(a + 2)(a + 2)}{2\cancel{(a - 2)}} = \frac{(a + 2)^2}{2}$.

Ответ: $x = \frac{(a + 2)^2}{2}$.

2) Дана пропорция $(a^2 - 1)^2 : x = (a^2 - 1) : (a^3 + 1)$.

Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$(a^2 - 1)^2 \cdot (a^3 + 1) = x \cdot (a^2 - 1)$.

Выразим $x$ из этого равенства. Для этого разделим обе части на $(a^2 - 1)$:

$x = \frac{(a^2 - 1)^2 (a^3 + 1)}{a^2 - 1}$.

Сократим дробь на $(a^2 - 1)$, при условии, что $a^2 - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

$x = \frac{\cancel{(a^2 - 1)}(a^2 - 1) (a^3 + 1)}{\cancel{a^2 - 1}} = (a^2 - 1)(a^3 + 1)$.

Полученное выражение можно оставить в этом виде или разложить на множители, используя формулу разности квадратов и формулу суммы кубов:

$x = (a - 1)(a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1) = (a - 1)(a + 1)^2(a^2 - a + 1)$.

Обе формы записи ответа верны, но первая является более компактной.

Ответ: $x = (a^2 - 1)(a^3 + 1)$.