Страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Любое ли дробно-рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби?

2. Любое ли тождество удобно доказывать любым из известных способов?

1. Любое ли дробно-рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби?

Да, любое дробно-рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби. По определению, дробно-рациональное выражение — это выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью конечного числа арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления. Любое такое выражение путем тождественных преобразований можно привести к виду $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причем $Q$ — ненулевой многочлен.

Это следует из того, что сами многочлены и результаты арифметических операций над рациональными дробями всегда являются рациональными дробями:

• Любой многочлен $P$ можно представить в виде рациональной дроби $\frac{P}{1}$.

• Сумма, разность, произведение и частное двух рациональных дробей $\frac{P_1}{Q_1}$ и $\frac{P_2}{Q_2}$ также являются рациональными дробями:

Сложение: $\frac{P_1}{Q_1} + \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1Q_2 + P_2Q_1}{Q_1Q_2}$

Вычитание: $\frac{P_1}{Q_1} - \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1Q_2 - P_2Q_1}{Q_1Q_2}$

Умножение: $\frac{P_1}{Q_1} \cdot \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1P_2}{Q_1Q_2}$

Деление: $\frac{P_1}{Q_1} \div \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1Q_2}{Q_1P_2}$

Поскольку числитель и знаменатель в результате каждой из этих операций являются многочленами (так как сумма, разность и произведение многочленов — это снова многочлены), то результат всегда представляет собой рациональную дробь. Так как любое дробно-рациональное выражение состоит из конечной последовательности таких операций, его всегда можно свести к одной рациональной дроби путем последовательного их выполнения.

Ответ: Да.

2. Любое ли тождество удобно доказывать любым из известных способов?

Нет, не любое тождество удобно доказывать любым из известных способов. Выбор наиболее удобного (рационального) способа зависит от конкретного вида самого тождества.

Существуют несколько основных способов доказательства тождеств:

1. Преобразование левой части выражения до тех пор, пока она не станет идентичной правой части.

2. Преобразование правой части до идентичности с левой.

3. Преобразование обеих частей тождества к одному и тому же выражению.

4. Доказательство того, что разность левой и правой частей равна нулю.

Выбор метода диктуется соображениями простоты и наглядности. Как правило, преобразуют более сложную часть тождества к более простой.

Например, для тождества $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ удобнее всего преобразовать левую, более сложную, часть к правой, раскрыв скобки: $(x-y)(x+y) = x^2+xy-yx-y^2 = x^2 - y^2$. Пытаться преобразовать правую часть в левую (то есть догадаться о способе разложения на множители) было бы менее удобно.

Для другого тождества, например, $\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} = \frac{1}{a(a+1)}$, наоборот, удобнее преобразовать левую часть к правой, выполнив вычитание дробей: $\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1 - a}{a(a+1)} = \frac{1}{a(a+1)}$. Преобразование правой части в левую (разложение на простейшие дроби) является более сложной задачей для начинающих.

В случаях, когда обе части тождества выглядят громоздко, часто бывает удобнее упрощать их по отдельности, приводя к одному и тому же, более простому виду.

Таким образом, для каждого конкретного тождества, как правило, существует один или два наиболее рациональных и удобных способа доказательства, в то время как другие могут быть значительно сложнее или потребовать неочевидных преобразований.

Ответ: Нет.

Выполните действия (41.1–41.2):

1) $ \left(\frac{2a}{y^2} - \frac{2}{a}\right) : \left(\frac{1}{y} + \frac{1}{a}\right); $

2) $ \left(\frac{n}{m^2} + \frac{n^2}{m^3}\right) : \left(\frac{m^2}{3n^2} + \frac{m}{3n}\right); $

3) $ \frac{ab + b^2}{5} : \frac{b^3}{5a} + \frac{a + b}{b}; $

4) $ \frac{x - y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}; $

5) $ \left(\frac{x}{x + 1} + 1\right) \cdot \frac{1 + x}{2x - 1}; $

6) $ \left(\frac{4a}{2 - a} - a\right) : \frac{a + 2}{a - 2}; $

7) $ \frac{5y^2}{1 - y^2} : \left(1 - \frac{1}{1 - y}\right); $

8) $ \frac{xb + b^2}{7} : \frac{b^2}{7x} + \frac{x + b}{b}; $

9) $ \frac{x - 4}{x - 5} \cdot \left(x + \frac{x}{4 - x}\right); $

10) $ \left(\frac{a - b}{2a + 2b}\right) : \left(\frac{2}{a} - \frac{2}{b}\right) \cdot \left(\frac{4a + 4b}{a^2b}\right). $

1) $(\frac{2a}{y^2} - \frac{2}{a}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{a})$

Сначала выполним действия в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю в каждой скобке.

Первая скобка: $\frac{2a}{y^2} - \frac{2}{a} = \frac{2a \cdot a}{y^2a} - \frac{2 \cdot y^2}{ay^2} = \frac{2a^2 - 2y^2}{ay^2} = \frac{2(a^2 - y^2)}{ay^2} = \frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2}$.

Вторая скобка: $\frac{1}{y} + \frac{1}{a} = \frac{1 \cdot a}{ya} + \frac{1 \cdot y}{ay} = \frac{a+y}{ay}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2} : \frac{a+y}{ay} = \frac{2(a-y)(a+y)}{ay^2} \cdot \frac{ay}{a+y}$.

Сократим общие множители $(a+y)$, $a$ и $y$:

$\frac{2(a-y)\cancel{(a+y)}}{\cancel{a}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a}\cancel{y}}{\cancel{a+y}} = \frac{2(a-y)}{y}$.

Ответ: $\frac{2(a-y)}{y}$

2) $(\frac{n}{m^2} + \frac{n^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{3n^2} + \frac{m}{3n})$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю.

Первая скобка: $\frac{n}{m^2} + \frac{n^2}{m^3} = \frac{n \cdot m}{m^3} + \frac{n^2}{m^3} = \frac{nm + n^2}{m^3} = \frac{n(m+n)}{m^3}$.

Вторая скобка: $\frac{m^2}{3n^2} + \frac{m}{3n} = \frac{m^2}{3n^2} + \frac{m \cdot n}{3n \cdot n} = \frac{m^2 + mn}{3n^2} = \frac{m(m+n)}{3n^2}$.

Выполним деление:

$\frac{n(m+n)}{m^3} : \frac{m(m+n)}{3n^2} = \frac{n(m+n)}{m^3} \cdot \frac{3n^2}{m(m+n)}$.

Сократим общий множитель $(m+n)$:

$\frac{n\cancel{(m+n)}}{m^3} \cdot \frac{3n^2}{m\cancel{(m+n)}} = \frac{n \cdot 3n^2}{m^3 \cdot m} = \frac{3n^3}{m^4}$.

Ответ: $\frac{3n^3}{m^4}$

3) $\frac{ab+b^2}{5} : \frac{b^3}{5a} + \frac{a+b}{b}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Вынесем общий множитель в числителе первой дроби:

$\frac{b(a+b)}{5} : \frac{b^3}{5a} = \frac{b(a+b)}{5} \cdot \frac{5a}{b^3}$.

Сократим общие множители $5$ и $b$:

$\frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}a}{b^{\cancel{3}2}} = \frac{a(a+b)}{b^2}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b}$.

Приведем к общему знаменателю $b^2$:

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{(a+b)b}{b^2} = \frac{a(a+b) + b(a+b)}{b^2}$.

Вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе:

$\frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$.

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$

4) $\frac{x-y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}$

Сначала выполняем умножение. Вынесем общий множитель в числителе второй дроби:

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x-y)}{5y}$.

Сократим общие множители $5y$ и $x$:

$\frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x}$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$.

Ответ: $0$

5) $(\frac{x}{x+1} + 1) \cdot \frac{1+x}{2x-1}$

Выполним сложение в скобках, представив 1 как $\frac{x+1}{x+1}$:

$\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x+x+1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{1+x}{2x-1}$.

Так как $1+x = x+1$, сократим общий множитель $(x+1)$:

$\frac{2x+1}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{2x-1} = \frac{2x+1}{2x-1}$.

Ответ: $\frac{2x+1}{2x-1}$

6) $(\frac{4a}{2-a} - a) : \frac{a+2}{a-2}$

Выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю $2-a$:

$\frac{4a}{2-a} - \frac{a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - (2a-a^2)}{2-a} = \frac{4a-2a+a^2}{2-a} = \frac{a^2+2a}{2-a} = \frac{a(a+2)}{2-a}$.

Выполним деление. Заметим, что $2-a = -(a-2)$:

$\frac{a(a+2)}{-(a-2)} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a(a+2)}{-(a-2)} \cdot \frac{a-2}{a+2}$.

Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:

$\frac{a\cancel{(a+2)}}{-\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{\cancel{a-2}}{\cancel{a+2}} = \frac{a}{-1} = -a$.

Ответ: $-a$

7) $\frac{5y^2}{1-y^2} : (1 - \frac{1}{1-y})$

Выполним действие в скобках:

$1 - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y}$.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $1-y^2 = (1-y)(1+y)$.

Выполним деление:

$\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y}$.

Сократим общие множители $(1-y)$ и $y$:

$\frac{5y^{\cancel{2}}}{\cancel{(1-y)}(1+y)} \cdot \frac{\cancel{1-y}}{-\cancel{y}} = \frac{5y}{-(1+y)} = -\frac{5y}{1+y}$.

Ответ: $-\frac{5y}{1+y}$

8) $\frac{xb+b^2}{7} : \frac{b^2}{7x} + \frac{x+b}{b}$

Сначала выполним деление. Вынесем $b$ в числителе первой дроби:

$\frac{b(x+b)}{7} : \frac{b^2}{7x} = \frac{b(x+b)}{7} \cdot \frac{7x}{b^2}$.

Сократим общие множители $7$ и $b$:

$\frac{\cancel{b}(x+b)}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}x}{b^{\cancel{2}}} = \frac{x(x+b)}{b}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{x(x+b)}{b} + \frac{x+b}{b} = \frac{x(x+b) + (x+b)}{b}$.

Вынесем общий множитель $(x+b)$ в числителе:

$\frac{(x+b)(x+1)}{b}$.

Ответ: $\frac{(x+1)(x+b)}{b}$

9) $\frac{x-4}{x-5} \cdot (x + \frac{x}{4-x})$

Выполним сложение в скобках:

$x + \frac{x}{4-x} = \frac{x(4-x)}{4-x} + \frac{x}{4-x} = \frac{4x-x^2+x}{4-x} = \frac{5x-x^2}{4-x} = \frac{x(5-x)}{4-x}$.

Выполним умножение. Заметим, что $4-x = -(x-4)$ и $5-x = -(x-5)$:

$\frac{x-4}{x-5} \cdot \frac{x(5-x)}{4-x} = \frac{x-4}{x-5} \cdot \frac{x(-(x-5))}{-(x-4)}$.

Сократим общие множители $(x-4)$, $(x-5)$ и $-1$:

$\frac{\cancel{x-4}}{\cancel{x-5}} \cdot \frac{x(-\cancel{(x-5)})}{-\cancel{(x-4)}} = \frac{x(-1)}{-1} = x$.

Ответ: $x$

10) $(\frac{a-b}{2a+2b} : (\frac{2}{a} - \frac{2}{b})) \cdot (\frac{4a+4b}{a^2b})$

Выполним по порядку действий. Сначала действие во внутренних скобках:

$\frac{2}{a} - \frac{2}{b} = \frac{2b}{ab} - \frac{2a}{ab} = \frac{2b-2a}{ab} = \frac{2(b-a)}{ab}$.

Теперь выполним деление в больших скобках. Упростим делимое: $\frac{a-b}{2a+2b} = \frac{a-b}{2(a+b)}$.

$\frac{a-b}{2(a+b)} : \frac{2(b-a)}{ab} = \frac{a-b}{2(a+b)} \cdot \frac{ab}{2(b-a)}$.

Заменим $b-a$ на $-(a-b)$ и сократим:

$\frac{a-b}{2(a+b)} \cdot \frac{ab}{-2(a-b)} = \frac{\cancel{a-b}}{2(a+b)} \cdot \frac{ab}{-2(\cancel{a-b})} = \frac{ab}{-4(a+b)}$.

Теперь выполним умножение. Упростим второй множитель: $\frac{4a+4b}{a^2b} = \frac{4(a+b)}{a^2b}$.

$\frac{ab}{-4(a+b)} \cdot \frac{4(a+b)}{a^2b}$.

Сократим общие множители $4$, $(a+b)$, $a$ и $b$:

$\frac{\cancel{a}\cancel{b}}{-\cancel{4}\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{4}\cancel{(a+b)}}{a^{\cancel{2}}\cancel{b}} = \frac{1}{-a} = -\frac{1}{a}$.

Ответ: $-\frac{1}{a}$

41.2.

1) $ (\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5} $

2) $ \frac{y+3}{y^2+9} \cdot (\frac{y+3}{y-3} + \frac{y-3}{y+3}) $

1) $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5}$

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(2m-1)(2m+1) = 4m^2-1$.

$\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)(2m+1)}{(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m-1)(2m-1)}{(2m+1)(2m-1)} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}$

Раскроем числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(2m+1)^2 - (2m-1)^2 = ((2m+1)-(2m-1))((2m+1)+(2m-1)) = (2m+1-2m+1)(2m+1+2m-1) = (2)(4m) = 8m$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{8m}{4m^2-1}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{8m}{4m^2-1} : \frac{4m}{10m-5} = \frac{8m}{4m^2-1} \cdot \frac{10m-5}{4m}$

Разложим знаменатель первой дроби и числитель второй на множители:

$4m^2-1 = (2m-1)(2m+1)$

$10m-5 = 5(2m-1)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m}$

Сократим общие множители $8m$ и $4m$ (сокращаются на $4m$, в числителе остается $2$), а также $(2m-1)$:

$\frac{2 \cdot 5}{2m+1} = \frac{10}{2m+1}$

Область допустимых значений переменной $m$ определяется из условий: $2m-1 \neq 0$, $2m+1 \neq 0$, $4m \neq 0$. Следовательно, $m \neq \frac{1}{2}$, $m \neq -\frac{1}{2}$, $m \neq 0$.

Ответ: $\frac{10}{2m+1}$

2) $\frac{y+3}{y^2+9} \cdot (\frac{y+3}{y-3} + \frac{y-3}{y+3})$

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(y-3)(y+3) = y^2-9$.

$\frac{y+3}{y-3} + \frac{y-3}{y+3} = \frac{(y+3)(y+3)}{(y-3)(y+3)} + \frac{(y-3)(y-3)}{(y+3)(y-3)} = \frac{(y+3)^2 + (y-3)^2}{(y-3)(y+3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(y+3)^2 = y^2 + 6y + 9$

$(y-3)^2 = y^2 - 6y + 9$

$(y^2 + 6y + 9) + (y^2 - 6y + 9) = 2y^2 + 18 = 2(y^2+9)$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2(y^2+9)}{y^2-9}$.

Теперь выполним умножение:

$\frac{y+3}{y^2+9} \cdot \frac{2(y^2+9)}{y^2-9}$

Сократим общий множитель $(y^2+9)$:

$\frac{y+3}{1} \cdot \frac{2}{y^2-9}$

Разложим знаменатель $y^2-9$ на множители по формуле разности квадратов: $y^2-9 = (y-3)(y+3)$.

$\frac{y+3}{1} \cdot \frac{2}{(y-3)(y+3)}$

Сократим общий множитель $(y+3)$:

$\frac{2}{y-3}$

Область допустимых значений переменной $y$ определяется из условий: $y^2+9 \neq 0$ (верно для любого действительного $y$), $y-3 \neq 0$, $y+3 \neq 0$. Следовательно, $y \neq 3$ и $y \neq -3$.

Ответ: $\frac{2}{y-3}$

Упростите выражения (41.3–41.4):

41.3. 1) $\frac{n^2 - 9}{2n^2 + 1} \cdot \left(\frac{6n + 1}{n - 3} + \frac{6n - 1}{n + 3}\right)$;

2) $\left(\frac{6x + y}{x - 6y} + \frac{6x - y}{x + 6y}\right) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 36y^2}$

1) Упростим выражение $ \frac{n^2 - 9}{2n^2 + 1} \cdot (\frac{6n + 1}{n - 3} + \frac{6n - 1}{n + 3}) $.
Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{6n + 1}{n - 3} $ и $ \frac{6n - 1}{n + 3} $ равен $ (n - 3)(n + 3) = n^2 - 9 $.
$ \frac{6n + 1}{n - 3} + \frac{6n - 1}{n + 3} = \frac{(6n + 1)(n + 3) + (6n - 1)(n - 3)}{(n - 3)(n + 3)} = \frac{(6n^2 + 18n + n + 3) + (6n^2 - 18n - n + 3)}{n^2 - 9} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{6n^2 + 19n + 3 + 6n^2 - 19n + 3}{n^2 - 9} = \frac{12n^2 + 6}{n^2 - 9} $
Теперь умножим результат на первую дробь:
$ \frac{n^2 - 9}{2n^2 + 1} \cdot \frac{12n^2 + 6}{n^2 - 9} $
Сократим $ (n^2 - 9) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{12n^2 + 6}{2n^2 + 1} $
Вынесем общий множитель 6 в числителе:
$ \frac{6(2n^2 + 1)}{2n^2 + 1} $
Сократим $ (2n^2 + 1) $:
$ 6 $
Ответ: $6$

2) Упростим выражение $ (\frac{6x + y}{x - 6y} + \frac{6x - y}{x + 6y}) : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 36y^2} $.
Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{6x + y}{x - 6y} $ и $ \frac{6x - y}{x + 6y} $ равен $ (x - 6y)(x + 6y) = x^2 - 36y^2 $.
$ \frac{6x + y}{x - 6y} + \frac{6x - y}{x + 6y} = \frac{(6x + y)(x + 6y) + (6x - y)(x - 6y)}{(x - 6y)(x + 6y)} = \frac{(6x^2 + 36xy + xy + 6y^2) + (6x^2 - 36xy - xy + 6y^2)}{x^2 - 36y^2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{6x^2 + 37xy + 6y^2 + 6x^2 - 37xy + 6y^2}{x^2 - 36y^2} = \frac{12x^2 + 12y^2}{x^2 - 36y^2} $
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$ \frac{12x^2 + 12y^2}{x^2 - 36y^2} : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 36y^2} = \frac{12x^2 + 12y^2}{x^2 - 36y^2} \cdot \frac{x^2 - 36y^2}{x^2 + y^2} $
Вынесем общий множитель 12 в числителе первой дроби:
$ \frac{12(x^2 + y^2)}{x^2 - 36y^2} \cdot \frac{x^2 - 36y^2}{x^2 + y^2} $
Сократим одинаковые множители $ (x^2 - 36y^2) $ и $ (x^2 + y^2) $ в числителе и знаменателе:
$ 12 $
Ответ: $12$