Страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.13. Найдите значение выражения:

1) $\frac{8x^2 - 8x}{x+3} : (2x-2) \cdot x$, если $x = 2,5$; $-3,4$;

2) $(3a-6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a-2b}$, если $a = 2,6$, $b = -1,2$.

1) Сначала упростим данное выражение. Действия деления и умножения выполняются по порядку, слева направо. Выражение: $ \frac{8x^2-8x}{x+3} : (2x-2) \cdot x $.

Сначала выполним деление $ \frac{8x^2-8x}{x+3} $ на $ (2x-2) $. Для этого разложим на множители числитель дроби и делитель:

$ 8x^2-8x = 8x(x-1) $

$ 2x-2 = 2(x-1) $

Теперь деление выглядит так:

$ \frac{8x(x-1)}{x+3} : (2(x-1)) = \frac{8x(x-1)}{x+3} \cdot \frac{1}{2(x-1)} $

Сократим общий множитель $ (x-1) $ (при условии, что $ x \neq 1 $):

$ \frac{8x}{2(x+3)} = \frac{4x}{x+3} $

Теперь результат умножим на $ x $:

$ \frac{4x}{x+3} \cdot x = \frac{4x^2}{x+3} $

Область допустимых значений исходного выражения: знаменатель $ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $, и делитель $ 2x-2 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Теперь найдем значения упрощенного выражения для заданных $ x $.

При $ x = 2,5 $:

$ \frac{4 \cdot (2,5)^2}{2,5+3} = \frac{4 \cdot 6,25}{5,5} = \frac{25}{5,5} = \frac{250}{55} = \frac{50}{11} $

При $ x = -3,4 $:

$ \frac{4 \cdot (-3,4)^2}{-3,4+3} = \frac{4 \cdot 11,56}{-0,4} = -10 \cdot 11,56 = -115,6 $

Ответ: при $ x = 2,5 $ значение равно $ \frac{50}{11} $; при $ x = -3,4 $ значение равно $ -115,6 $.

2) Сначала упростим выражение $ (3a-6b):\frac{2a^2-8b^2}{a-2b} $.

Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:

$ (3a-6b) \cdot \frac{a-2b}{2a^2-8b^2} $

Разложим на множители выражения в скобках и в знаменателе дроби:

$ 3a-6b = 3(a-2b) $

$ 2a^2-8b^2 = 2(a^2-4b^2) = 2(a-2b)(a+2b) $ (используя формулу разности квадратов).

Подставим разложенные выражения обратно:

$ 3(a-2b) \cdot \frac{a-2b}{2(a-2b)(a+2b)} $

Запишем всё в виде одной дроби:

$ \frac{3(a-2b)(a-2b)}{2(a-2b)(a+2b)} $

Сократим общий множитель $ (a-2b) $ (при условии, что $ a-2b \neq 0 $):

$ \frac{3(a-2b)}{2(a+2b)} $

Область допустимых значений исходного выражения: $ a-2b \neq 0 $ и $ 2a^2-8b^2 \neq 0 $, что в совокупности дает $ a \neq 2b $ и $ a \neq -2b $.

Теперь подставим заданные значения $ a = 2,6 $ и $ b = -1,2 $ в упрощенное выражение.

Вычислим значения выражений в скобках:

$ a-2b = 2,6 - 2(-1,2) = 2,6 + 2,4 = 5 $

$ a+2b = 2,6 + 2(-1,2) = 2,6 - 2,4 = 0,2 $

Подставляем эти значения в упрощенную дробь:

$ \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 0,2} = \frac{15}{0,4} = \frac{150}{4} = 37,5 $

Ответ: $ 37,5 $.

40.14. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных целым числом является значение выражения:

1) $\frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2} \cdot \frac{(2 - a) \cdot (4 - b^2)}{a + 2};$

2) $\frac{4m^2 - 25n^2}{m^3 + 8} : \frac{2m + 5n}{m^2 - 2m + 4} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n}$

1) Чтобы доказать, что значение выражения является целым числом при любых допустимых значениях переменных, мы упростим данное выражение.
Исходное выражение: $ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2} \cdot \frac{(2 - a) \cdot (4 - b^2)}{a + 2} $.
Сначала заменим деление на дробь умножением на обратную дробь:
$ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} \cdot \frac{4 + b^2}{4 - a^2} \cdot \frac{(2 - a) \cdot (4 - b^2)}{a + 2} $.
Теперь разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$ a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2 $ (квадрат суммы)
$ 16 - b^4 = (4 - b^2)(4 + b^2) $ (разность квадратов)
$ 4 - a^2 = (2 - a)(2 + a) $ (разность квадратов)
Подставим разложенные выражения обратно в исходное:
$ \frac{(a+2)^2}{(4 - b^2)(4 + b^2)} \cdot \frac{4 + b^2}{(2 - a)(2 + a)} \cdot \frac{(2 - a) \cdot (4 - b^2)}{a + 2} $.
Запишем все под одной дробной чертой и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Заметим, что $2+a = a+2$.
$ \frac{(a+2)^2 \cdot (4 + b^2) \cdot (2 - a) \cdot (4 - b^2)}{(4 - b^2)(4 + b^2) \cdot (2 - a)(a + 2) \cdot (a + 2)} = \frac{(a+2)^2 \cdot (4 + b^2) \cdot (2 - a) \cdot (4 - b^2)}{(4 - b^2)(4 + b^2) \cdot (2 - a) \cdot (a+2)^2} $.
После сокращения всех множителей получаем:
$ \frac{\cancel{(a+2)^2} \cdot \cancel{(4 + b^2)} \cdot \cancel{(2 - a)} \cdot \cancel{(4 - b^2)}}{\cancel{(4 - b^2)}\cancel{(4 + b^2)} \cdot \cancel{(2 - a)} \cdot \cancel{(a+2)^2}} = 1 $.
Значение выражения равно 1 при всех допустимых значениях переменных ($a \neq \pm 2, b \neq \pm 2$). Число 1 является целым, что и требовалось доказать.
Ответ: 1.

2) Аналогично первому пункту, упростим выражение, чтобы доказать, что его значение является целым числом.
Исходное выражение: $ \frac{4m^2 - 25n^2}{m^3 + 8} : \frac{2m + 5n}{m^2 - 2m + 4} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n} $.
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{4m^2 - 25n^2}{m^3 + 8} \cdot \frac{m^2 - 2m + 4}{2m + 5n} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n} $.
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ 4m^2 - 25n^2 = (2m - 5n)(2m + 5n) $ (разность квадратов)
$ m^3 + 8 = m^3 + 2^3 = (m + 2)(m^2 - 2m + 4) $ (сумма кубов)
Выражение $ m^2 - 2m + 4 $ является неполным квадратом разности и на множители не раскладывается.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(2m - 5n)(2m + 5n)}{(m + 2)(m^2 - 2m + 4)} \cdot \frac{m^2 - 2m + 4}{2m + 5n} \cdot \frac{m + 2}{2m - 5n} $.
Объединим в одну дробь и сократим:
$ \frac{(2m - 5n)(2m + 5n) \cdot (m^2 - 2m + 4) \cdot (m + 2)}{(m + 2)(m^2 - 2m + 4) \cdot (2m + 5n) \cdot (2m - 5n)} $.
После сокращения всех множителей получаем:
$ \frac{\cancel{(2m - 5n)}\cancel{(2m + 5n)} \cdot \cancel{(m^2 - 2m + 4)} \cdot \cancel{(m + 2)}}{\cancel{(m + 2)}\cancel{(m^2 - 2m + 4)} \cdot \cancel{(2m + 5n)} \cdot \cancel{(2m - 5n)}} = 1 $.
Значение выражения равно 1 при всех допустимых значениях переменных ($m \neq -2, 2m \neq \pm 5n$). Число 1 является целым, что и требовалось доказать.
Ответ: 1.

40.15. Упростите выражение:

1)

$\frac{a-3}{2a+4} \cdot \frac{a^2-4}{a^3-27} \cdot \frac{a^2+3a+9}{a^2-2a}$;

2)

$\frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{a^2-16}{2a-a^2} : \frac{a-4}{4b}$.

1) Чтобы упростить данное выражение, разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Исходное выражение: $ \frac{a-3}{2a+4} \cdot \frac{a^2-4}{a^3-27} \cdot \frac{a^2+3a+9}{a^2-2a} $

Разложим на множители каждый числитель и знаменатель:

• $2a+4 = 2(a+2)$
• $a^2-4 = (a-2)(a+2)$ (формула разности квадратов)
• $a^3-27 = a^3-3^3 = (a-3)(a^2+3a+9)$ (формула разности кубов)
• $a^2-2a = a(a-2)$

Подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$ \frac{a-3}{2(a+2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a^2+3a+9)} \cdot \frac{a^2+3a+9}{a(a-2)} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях:

$ \frac{\cancel{a-3}}{2\cancel{(a+2)}} \cdot \frac{\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a-3)}\cancel{(a^2+3a+9)}} \cdot \frac{\cancel{a^2+3a+9}}{a\cancel{(a-2)}} $

После сокращения в числителе остается 1, а в знаменателе $2 \cdot a = 2a$.

Получаем: $ \frac{1}{2a} $

Ответ: $ \frac{1}{2a} $

2) Чтобы упростить данное выражение, заменим деление на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь, а затем разложим на множители числители и знаменатели.

Исходное выражение: $ \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{a^2-16}{2a-a^2} : \frac{a-4}{4b} $

Заменяем деление умножением:

$ \frac{ab-2b}{a^2+8a+16} \cdot \frac{a^2-16}{2a-a^2} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Разложим на множители каждый числитель и знаменатель:

• $ab-2b = b(a-2)$
• $a^2+8a+16 = (a+4)^2$ (формула квадрата суммы)
• $a^2-16 = (a-4)(a+4)$ (формула разности квадратов)
• $2a-a^2 = a(2-a) = -a(a-2)$

Подставим разложенные выражения обратно:

$ \frac{b(a-2)}{(a+4)^2} \cdot \frac{(a-4)(a+4)}{-a(a-2)} \cdot \frac{4b}{a-4} $

Теперь сократим одинаковые множители. Обратите внимание на знак "минус" во втором знаменателе.

$ \frac{b\cancel{(a-2)}}{(a+4)\cancel{(a+4)}} \cdot \frac{\cancel{(a-4)}\cancel{(a+4)}}{-a\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{4b}{\cancel{a-4}} $

После сокращения в числителе остаются множители $b \cdot 4b = 4b^2$. В знаменателе остаются множители $(a+4) \cdot (-a) = -a(a+4)$.

Получаем: $ \frac{4b^2}{-a(a+4)} = -\frac{4b^2}{a(a+4)} $

Ответ: $ -\frac{4b^2}{a(a+4)} $

40.16. Докажите тождество:

1) $\frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} = \frac{x + 1}{a - x}$

2) $\frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p + 3}{2p - 4} = \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4}$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Первым шагом заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель): $\frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} = \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{a^3 - x^3}$.
Далее, разложим на множители выражения в числителях и знаменателях, где это возможно. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2)$;
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим разложенные выражения обратно в наше выражение: $\frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)}$.
Теперь сократим общие множители $(a^2 + ax + x^2)$ и $(x - 1)$ в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{a^2 + ax + x^2}}{\cancel{x - 1}} \cdot \frac{\cancel{(x - 1)}(x + 1)}{(a - x)\cancel{(a^2 + ax + x^2)}} = \frac{x + 1}{a - x}$.
Мы получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Заменим деление на умножение на обратную дробь: $\frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p + 3}{2p - 4} = \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} \cdot \frac{2p - 4}{p + 3}$.
Разложим на множители выражения в числителях и знаменателях.
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $a$ за скобки и применим формулу разности квадратов: $ap^2 - 9a = a(p^2 - 9) = a(p - 3)(p + 3)$.
В знаменателе первой дроби применим формулу разности кубов: $p^3 - 8 = p^3 - 2^3 = (p - 2)(p^2 + 2p + 4)$.
В числителе второй дроби вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2p - 4 = 2(p - 2)$.
Подставим полученные разложения в наше выражение: $\frac{a(p - 3)(p + 3)}{(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2(p - 2)}{p + 3}$.
Сократим общие множители $(p + 3)$ и $(p - 2)$: $\frac{a(p - 3)\cancel{(p + 3)}}{\cancel{(p - 2)}(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2\cancel{(p - 2)}}{\cancel{p + 3}} = \frac{a(p - 3) \cdot 2}{p^2 + 2p + 4} = \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4}$.
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

40.17. Докажите, что значение выражения:

1) $ \frac{c^2 - 1}{c^3 + 1} : \frac{c - 1}{c^2 - c + 1} $ при ($c \ne 1$ и $c \ne -1$) не зависит от значения
переменной c;

2) $ \frac{a^2 - 4}{a^3 + 8} \cdot \frac{a^2 - 2a + 4}{3a - 6} $ при ($a \ne 2$ и $a \ne -2$) не зависит от значения
переменной a.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $c$, необходимо его упростить.
Исходное выражение: $\frac{c^2 - 1}{c^3 + 1} : \frac{c - 1}{c^2 - c + 1}$.
Заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:
$\frac{c^2 - 1}{c^3 + 1} \cdot \frac{c^2 - c + 1}{c - 1}$.
Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и знаменатель по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$c^2 - 1 = (c-1)(c+1)$
$c^3 + 1 = (c+1)(c^2-c+1)$
Подставим полученные разложения в выражение:
$\frac{(c-1)(c+1)}{(c+1)(c^2-c+1)} \cdot \frac{c^2 - c + 1}{c - 1}$.
Сократим общие множители. Условия $c \neq 1$ и $c \neq -1$ позволяют сокращать $(c-1)$ и $(c+1)$, так как они не равны нулю. Выражение $c^2-c+1$ также не равно нулю ни при каких действительных значениях $c$.
$\frac{\cancel{(c-1)}\cancel{(c+1)}}{\cancel{(c+1)}\cancel{(c^2-c+1)}} \cdot \frac{\cancel{c^2 - c + 1}}{\cancel{c - 1}} = 1$.
В результате упрощения получилось число 1, которое является постоянной величиной и не зависит от значения переменной $c$.
Ответ: 1.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $a$, необходимо его упростить.
Исходное выражение: $\frac{a^2 - 4}{a^3 + 8} \cdot \frac{a^2 - 2a + 4}{3a - 6}$.
Разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки:
$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a-2)(a+2)$ (разность квадратов)
$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$ (сумма кубов)
$3a - 6 = 3(a-2)$ (вынесение общего множителя)
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} \cdot \frac{a^2 - 2a + 4}{3(a - 2)}$.
Сократим общие множители. Согласно условиям $a \neq 2$ и $a \neq -2$, множители $(a-2)$ и $(a+2)$ не равны нулю. Выражение $a^2-2a+4$ не равно нулю ни при каких действительных значениях $a$.
$\frac{\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a+2)}\cancel{(a^2-2a+4)}} \cdot \frac{\cancel{a^2 - 2a + 4}}{3\cancel{(a - 2)}} = \frac{1}{3}$.
В результате упрощения получилось число $\frac{1}{3}$, которое является постоянной величиной и не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

40.18. Упростите выражение:

1) $(a - 0,4)^2 - (a + 0,4)^2 + 2,68;$

2) $(a + 0,1)^3 + (a - 0,1)^3 - 2a^3.$

1) $(a - 0,4)^2 - (a + 0,4)^2 + 2,68$

Для упрощения первых двух слагаемых воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x = a - 0,4$ и $y = a + 0,4$.

$(a - 0,4)^2 - (a + 0,4)^2 = ((a - 0,4) - (a + 0,4)) \cdot ((a - 0,4) + (a + 0,4))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(a - 0,4 - a - 0,4) = -0,8$.

Вторая скобка: $(a - 0,4 + a + 0,4) = 2a$.

Перемножим результаты: $(-0,8) \cdot (2a) = -1,6a$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$-1,6a + 2,68$.

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $-1,6a + 2,68$.

2) $(a + 0,1)^3 + (a - 0,1)^3 - 2a^3$

Для упрощения воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Раскроем скобки в выражении, применяя эти формулы для $x=a$ и $y=0,1$:

$(a + 0,1)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 0,1 + 3 \cdot a \cdot (0,1)^2 + (0,1)^3 = a^3 + 0,3a^2 + 0,03a + 0,001$.

$(a - 0,1)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 0,1 + 3 \cdot a \cdot (0,1)^2 - (0,1)^3 = a^3 - 0,3a^2 + 0,03a - 0,001$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(a^3 + 0,3a^2 + 0,03a + 0,001) + (a^3 - 0,3a^2 + 0,03a - 0,001) - 2a^3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 + a^3 - 2a^3) + (0,3a^2 - 0,3a^2) + (0,03a + 0,03a) + (0,001 - 0,001) = 0 + 0 + 0,06a + 0 = 0,06a$.

Ответ: $0,06a$.

40.19. Сравните значения числовых выражений:

1) $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4}$ и $\frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$;

2) $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$ и $2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$.

1) Для того чтобы сравнить значения числовых выражений $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4}$ и $\frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$, вычислим значение каждого из них по отдельности.

Вычислим значение первого выражения: $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{2^2}{5^2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 4}$. Сократим дробь на $4$ и на $5$: $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

Вычислим значение второго выражения: $\frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{3^2}{5^2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{25} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 25}$. Сократим дробь на $5$: $\frac{9}{4 \cdot 5} = \frac{9}{20}$.

Теперь сравним полученные результаты: $\frac{1}{5}$ и $\frac{9}{20}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $20$. $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$. Сравниваем дроби $\frac{4}{20}$ и $\frac{9}{20}$. Так как их знаменатели равны, сравниваем числители: $4 < 9$. Следовательно, $\frac{4}{20} < \frac{9}{20}$, что означает $\frac{1}{5} < \frac{9}{20}$. Таким образом, первое выражение меньше второго.
Ответ: $(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{5}{4} < \frac{5}{4} \cdot (\frac{3}{5})^2$.

2) Для того чтобы сравнить значения числовых выражений $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$ и $2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$, вычислим значение каждой суммы.

Вычислим значение первого выражения: $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}$. Сложим целые и дробные части отдельно. Целые части: $1 + 3 = 4$. Дробные части: $\frac{2}{5} + \frac{4}{15}$. Общий знаменатель $15$. $\frac{2}{5} + \frac{4}{15} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4}{15} = \frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{10}{15}$. Сокращаем дробь: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Результат сложения первого выражения: $4 + \frac{2}{3} = 4\frac{2}{3}$.

Вычислим значение второго выражения: $2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$. Сложим целые и дробные части отдельно. Целые части: $2 + 1 = 3$. Дробные части: $\frac{3}{7} + \frac{11}{14}$. Общий знаменатель $14$. $\frac{3}{7} + \frac{11}{14} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{11}{14} = \frac{6}{14} + \frac{11}{14} = \frac{17}{14}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{17}{14} = 1\frac{3}{14}$. Результат сложения второго выражения: $3 + 1\frac{3}{14} = 4\frac{3}{14}$.

Теперь сравним полученные результаты: $4\frac{2}{3}$ и $4\frac{3}{14}$. Целые части у чисел одинаковы (равны $4$), поэтому нужно сравнить их дробные части: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{14}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $3$ и $14$ это $3 \cdot 14 = 42$. $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 14}{3 \cdot 14} = \frac{28}{42}$. $\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}$. Сравниваем дроби $\frac{28}{42}$ и $\frac{9}{42}$. Так как $28 > 9$, то $\frac{28}{42} > \frac{9}{42}$, и, следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{3}{14}$. Таким образом, $4\frac{2}{3} > 4\frac{3}{14}$, а значит первое выражение больше второго.
Ответ: $1\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} > 2\frac{3}{7} + 1\frac{11}{14}$.