Страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.9. Докажите тождество:

1) $ \frac{x^3}{x^2 - 4} + \frac{x}{x + 2} - x = \frac{x}{x - 2} $;

2) $ \frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} - \frac{6}{(a + 1)^2} = - \frac{1}{(a + 1)^2} $.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Исходное выражение в левой части: $\frac{x^3}{x^2 - 4} + \frac{x}{x + 2} - x$.

Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{x^3}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x}{x + 2} - x$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2)$. Для этого домножим второе слагаемое на $(x-2)$, а третье на $(x-2)(x+2)$.

$\frac{x^3}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^3 + x(x - 2) - x(x^2 - 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^3 + x^2 - 2x - x^3 + 4x}{(x - 2)(x + 2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^3 - x^3) + x^2 + (-2x + 4x)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2x}{(x - 2)(x + 2)}$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:

$\frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2)$ (при условии, что $x \neq -2$):

$\frac{x}{x - 2}$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $\frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} - \frac{6}{(a + 1)^2}$.

Ключевым шагом является разложение на множители знаменателя первой дроби $P(a) = a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2$. Сгруппируем его члены:

$P(a) = (a^4 - a^2 - 2) + (2a^3 - 4a)$

Разложим на множители первую группу $(a^4 - a^2 - 2)$. Рассматривая это как квадратное уравнение относительно $a^2$, находим корни $t^2 - t - 2 = 0$, которые равны $t_1=2$ и $t_2=-1$. Таким образом, $a^4 - a^2 - 2 = (a^2 - 2)(a^2 + 1)$.

Во второй группе $(2a^3 - 4a)$ вынесем общий множитель $2a$: $2a(a^2 - 2)$.

Теперь весь знаменатель можно записать как:

$P(a) = (a^2 - 2)(a^2 + 1) + 2a(a^2 - 2)$

Вынесем общий множитель $(a^2 - 2)$:

$P(a) = (a^2 - 2)(a^2 + 1 + 2a)$

Выражение во второй скобке является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.

Следовательно, знаменатель равен $(a^2 - 2)(a + 1)^2$.

Подставим разложенный знаменатель обратно в левую часть исходного выражения:

$\frac{5a^2 - 10}{(a^2 - 2)(a + 1)^2} - \frac{6}{(a + 1)^2}$

В числителе первой дроби вынесем множитель 5: $5a^2 - 10 = 5(a^2 - 2)$.

$\frac{5(a^2 - 2)}{(a^2 - 2)(a + 1)^2} - \frac{6}{(a + 1)^2}$

Сократим первую дробь на $(a^2 - 2)$ (при условии, что $a^2 \neq 2$):

$\frac{5}{(a + 1)^2} - \frac{6}{(a + 1)^2}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5 - 6}{(a + 1)^2} = \frac{-1}{(a + 1)^2} = -\frac{1}{(a + 1)^2}$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

41.10. Решите уравнение:

1) $(c^2 - 9) \cdot x = 2c + 6;$

2) $\frac{x}{(c + 2)^2} = \frac{3}{c^2 - 4};$

3) $\frac{4x}{(c + 1)^2} = \frac{3c}{c^2 - 1};$

4) $\frac{x - 3}{(c - 4)^2} = \frac{2,4}{16 - c^2}.$

1) $(c^2 - 9) \cdot x = 2c + 6$

Это линейное уравнение относительно переменной $x$. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $(c^2 - 9)$. Рассмотрим случаи, когда этот коэффициент равен нулю и когда не равен.

Коэффициент при $x$ равен $c^2 - 9 = (c - 3)(c + 3)$. Он обращается в ноль при $c = 3$ и $c = -3$.

Случай 1: $c \neq 3$ и $c \neq -3$.

В этом случае $c^2 - 9 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на это выражение:

$x = \frac{2c + 6}{c^2 - 9}$

Упростим полученное выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:

$x = \frac{2(c + 3)}{(c - 3)(c + 3)}$

Так как $c \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(c + 3)$:

$x = \frac{2}{c - 3}$

Случай 2: $c = 3$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$(3^2 - 9) \cdot x = 2(3) + 6$

$0 \cdot x = 12$

Это уравнение не имеет решений.

Случай 3: $c = -3$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$((-3)^2 - 9) \cdot x = 2(-3) + 6$

$(9 - 9) \cdot x = -6 + 6$

$0 \cdot x = 0$

Это уравнение верно при любом значении $x$.

Ответ: если $c \neq 3$ и $c \neq -3$, то $x = \frac{2}{c - 3}$; если $c = 3$, то корней нет; если $c = -3$, то $x$ — любое число.

2) $\frac{x}{(c + 2)^2} = \frac{3}{c^2 - 4}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $c$. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

$(c + 2)^2 \neq 0 \implies c + 2 \neq 0 \implies c \neq -2$.

$c^2 - 4 \neq 0 \implies (c - 2)(c + 2) \neq 0 \implies c \neq 2$ и $c \neq -2$.

Следовательно, уравнение имеет смысл при $c \neq 2$ и $c \neq -2$.

Чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на $(c + 2)^2$ (это возможно, так как $c \neq -2$):

$x = \frac{3 \cdot (c + 2)^2}{c^2 - 4}$

Упростим выражение, разложив знаменатель на множители:

$x = \frac{3 \cdot (c + 2)^2}{(c - 2)(c + 2)}$

Так как $c \neq -2$, сократим дробь на $(c + 2)$:

$x = \frac{3(c + 2)}{c - 2}$

Если $c = 2$ или $c = -2$, исходное уравнение не определено, следовательно, решений не имеет.

Ответ: при $c \neq 2$ и $c \neq -2$, $x = \frac{3(c + 2)}{c - 2}$; при $c = 2$ или $c = -2$ корней нет.

3) $\frac{4x}{(c + 1)^2} = \frac{3c}{c^2 - 1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $c$. Знаменатели не могут быть равны нулю.

$(c + 1)^2 \neq 0 \implies c \neq -1$.

$c^2 - 1 \neq 0 \implies (c - 1)(c + 1) \neq 0 \implies c \neq 1$ и $c \neq -1$.

Таким образом, уравнение определено при $c \neq 1$ и $c \neq -1$.

Выразим $x$. Для этого умножим обе части уравнения на $\frac{(c+1)^2}{4}$ (это возможно, так как $c \neq -1$):

$x = \frac{3c}{c^2 - 1} \cdot \frac{(c + 1)^2}{4}$

Упростим полученное выражение. Разложим $c^2-1$ на множители:

$x = \frac{3c \cdot (c + 1)^2}{4(c - 1)(c + 1)}$

Так как $c \neq -1$, сократим дробь на $(c + 1)$:

$x = \frac{3c(c + 1)}{4(c - 1)}$

Если $c = 1$ или $c = -1$, исходное уравнение не определено и решений не имеет.

Ответ: при $c \neq 1$ и $c \neq -1$, $x = \frac{3c(c + 1)}{4(c - 1)}$; при $c = 1$ или $c = -1$ корней нет.

4) $\frac{x - 3}{(c - 4)^2} = \frac{2,4}{16 - c^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $c$. Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль.

$(c - 4)^2 \neq 0 \implies c \neq 4$.

$16 - c^2 \neq 0 \implies (4 - c)(4 + c) \neq 0 \implies c \neq 4$ и $c \neq -4$.

Следовательно, уравнение имеет смысл при $c \neq 4$ и $c \neq -4$.

Сначала выразим $x - 3$. Для этого умножим обе части уравнения на $(c - 4)^2$ (это возможно, так как $c \neq 4$):

$x - 3 = \frac{2,4 \cdot (c - 4)^2}{16 - c^2}$

Разложим знаменатель на множители $16 - c^2 = (4 - c)(4 + c) = -(c - 4)(c + 4)$:

$x - 3 = \frac{2,4 \cdot (c - 4)^2}{-(c - 4)(c + 4)}$

Так как $c \neq 4$, сократим дробь на $(c - 4)$:

$x - 3 = \frac{2,4(c - 4)}{-(c + 4)} = -\frac{2,4(c - 4)}{c + 4} = \frac{2,4(4 - c)}{c + 4}$

Теперь выразим $x$:

$x = 3 + \frac{2,4(4 - c)}{c + 4}$

Приведем к общему знаменателю:

$x = \frac{3(c + 4) + 2,4(4 - c)}{c + 4} = \frac{3c + 12 + 9,6 - 2,4c}{c + 4} = \frac{0,6c + 21,6}{c + 4}$

Можно вынести общий множитель $0,6$ в числителе:

$x = \frac{0,6(c + 36)}{c + 4}$

Если $c = 4$ или $c = -4$, исходное уравнение не определено, значит, решений не имеет.

Ответ: при $c \neq 4$ и $c \neq -4$, $x = \frac{0,6c + 21,6}{c + 4}$; при $c = 4$ или $c = -4$ корней нет.

41.11. Представьте в виде алгебраической дроби выражение:

1) $\frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3(x - 1)};$

2) $\frac{5a(b - 1)}{3^2d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^2(b - 1)}{c^3d};$

3) $\frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q^2(p + 1)}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4};$

4) $\frac{8x^2y^3}{7ab^2} : \frac{14xy^2}{7a^2b} : \frac{2x^2(y + 2)}{ab}.$

1) Чтобы представить выражение в виде алгебраической дроби, выполним действия по порядку: сначала деление, затем умножение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3(x-1)} = (\frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^2}{9x^3}) \cdot \frac{5y}{3(x-1)} $

Теперь объединим все в одну дробь, перемножив числители и знаменатели:

$ \frac{3x^2 \cdot 2y^2 \cdot 5y}{5y^3 \cdot 9x^3 \cdot 3(x-1)} = \frac{(3 \cdot 2 \cdot 5) \cdot x^2 \cdot (y^2 \cdot y)}{(5 \cdot 9 \cdot 3) \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot (x-1)} = \frac{30x^2y^3}{135x^3y^3(x-1)} $

Сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты: $ \frac{30}{135} = \frac{2 \cdot 15}{9 \cdot 15} = \frac{2}{9} $. Сокращаем переменные: $ \frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x} $ и $ \frac{y^3}{y^3} = 1 $.

$ \frac{30x^2y^3}{135x^3y^3(x-1)} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{9 \cdot x \cdot 1 \cdot (x-1)} = \frac{2}{9x(x-1)} $

Ответ: $ \frac{2}{9x(x-1)} $

2) Выполним деление последовательно слева направо. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь. Обратим внимание, что $ 3^2 = 9 $.

$ \frac{5a(b-1)}{9d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^2(b-1)}{c^3d} = (\frac{5a(b-1)}{9d} \cdot \frac{9ab}{5cd^2}) : \frac{a^2(b-1)}{c^3d} $

Сначала упростим выражение в скобках. Сокращаем $ 5 $, $ 9 $ и перемножаем оставшиеся члены:

$ \frac{a(b-1) \cdot ab}{d \cdot cd^2} = \frac{a^2b(b-1)}{cd^3} $

Теперь выполним второе деление:

$ \frac{a^2b(b-1)}{cd^3} : \frac{a^2(b-1)}{c^3d} = \frac{a^2b(b-1)}{cd^3} \cdot \frac{c^3d}{a^2(b-1)} $

Объединим в одну дробь и сократим общие множители $ a^2 $, $ (b-1) $, $ c $ и $ d $:

$ \frac{a^2 \cdot b \cdot (b-1) \cdot c^3 \cdot d}{c \cdot d^3 \cdot a^2 \cdot (b-1)} = \frac{b \cdot c^{3-1}}{d^{3-1}} = \frac{bc^2}{d^2} $

Ответ: $ \frac{bc^2}{d^2} $

3) Выполним действия по порядку: сначала умножение, затем деление.

$ \frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4} = (\frac{7p^4 \cdot 5q^2(p+1)}{10q^3 \cdot 14p^2}) : \frac{3p}{4q^4} $

Упростим выражение в скобках. Сократим числовые коэффициенты $ \frac{7 \cdot 5}{10 \cdot 14} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4} $. Сократим переменные $ \frac{p^4}{p^2} = p^2 $ и $ \frac{q^2}{q^3} = \frac{1}{q} $:

$ \frac{1 \cdot p^2 \cdot (p+1)}{4 \cdot q} = \frac{p^2(p+1)}{4q} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{p^2(p+1)}{4q} : \frac{3p}{4q^4} = \frac{p^2(p+1)}{4q} \cdot \frac{4q^4}{3p} $

Объединим в одну дробь и сократим общие множители $ 4 $, $ p $ и $ q $:

$ \frac{p^2 \cdot (p+1) \cdot 4 \cdot q^4}{4 \cdot q \cdot 3 \cdot p} = \frac{p^{2-1} \cdot (p+1) \cdot q^{4-1}}{3} = \frac{pq^3(p+1)}{3} $

Ответ: $ \frac{pq^3(p+1)}{3} $

4) Выполним деление последовательно слева направо.

$ \frac{8x^2y^3}{7ab^2} : \frac{14xy^2}{7a^2b} : \frac{2x^2(y+2)}{ab} $

Первое деление:

$ \frac{8x^2y^3}{7ab^2} : \frac{14xy^2}{7a^2b} = \frac{8x^2y^3}{7ab^2} \cdot \frac{7a^2b}{14xy^2} = \frac{8 \cdot 7 \cdot x^2y^3a^2b}{7 \cdot 14 \cdot ab^2xy^2} $

Сокращаем дробь: $ \frac{8}{14} = \frac{4}{7} $, $ \frac{x^2}{x} = x $, $ \frac{y^3}{y^2} = y $, $ \frac{a^2}{a} = a $, $ \frac{b}{b^2} = \frac{1}{b} $.

Результат первого действия: $ \frac{4axy}{7b} $.

Теперь выполним второе деление:

$ \frac{4axy}{7b} : \frac{2x^2(y+2)}{ab} = \frac{4axy}{7b} \cdot \frac{ab}{2x^2(y+2)} = \frac{4a^2bxy}{14bx^2(y+2)} $

Сокращаем полученную дробь: $ \frac{4}{14} = \frac{2}{7} $, $ \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} $, $ \frac{b}{b} = 1 $.

$ \frac{2a^2y}{7x(y+2)} $

Ответ: $ \frac{2a^2y}{7x(y+2)} $

41.12. Если $x = \frac{3n}{n+2}$, то найдите значение выражения:

1) $\frac{x-3}{2x+n}$;

2) $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{x}$;

3) $\frac{3x-3}{(2+n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$.

1)Для нахождения значения выражения $\frac{x-3}{2x+n}$ подставим в него $x = \frac{3n}{n+2}$.Сначала преобразуем числитель:$x - 3 = \frac{3n}{n+2} - 3 = \frac{3n - 3(n+2)}{n+2} = \frac{3n - 3n - 6}{n+2} = \frac{-6}{n+2}$.Теперь преобразуем знаменатель:$2x + n = 2\left(\frac{3n}{n+2}\right) + n = \frac{6n}{n+2} + \frac{n(n+2)}{n+2} = \frac{6n + n^2 + 2n}{n+2} = \frac{n^2 + 8n}{n+2} = \frac{n(n+8)}{n+2}$.Теперь найдём значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:$\frac{x-3}{2x+n} = \frac{\frac{-6}{n+2}}{\frac{n(n+8)}{n+2}} = \frac{-6}{n+2} \cdot \frac{n+2}{n(n+8)} = \frac{-6}{n(n+8)}$.
Ответ: $\frac{-6}{n(n+8)}$.

2)Для нахождения значения выражения $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{x}$ подставим в него $x = \frac{3n}{n+2}$.Рассмотрим первое слагаемое $\frac{2x-4n}{x+2n}$.Его числитель: $2x-4n = 2\left(\frac{3n}{n+2}\right) - 4n = \frac{6n - 4n(n+2)}{n+2} = \frac{6n - 4n^2 - 8n}{n+2} = \frac{-4n^2 - 2n}{n+2} = \frac{-2n(2n+1)}{n+2}$.Его знаменатель: $x+2n = \frac{3n}{n+2} + 2n = \frac{3n + 2n(n+2)}{n+2} = \frac{3n + 2n^2 + 4n}{n+2} = \frac{2n^2 + 7n}{n+2} = \frac{n(2n+7)}{n+2}$.Тогда первое слагаемое равно: $\frac{\frac{-2n(2n+1)}{n+2}}{\frac{n(2n+7)}{n+2}} = \frac{-2n(2n+1)}{n(2n+7)} = \frac{-2(2n+1)}{2n+7}$.Второе слагаемое равно: $\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{3n}{n+2}} = \frac{n+2}{3n}$.Теперь сложим полученные выражения:$\frac{-2(2n+1)}{2n+7} + \frac{n+2}{3n} = \frac{-6n(2n+1) + (n+2)(2n+7)}{3n(2n+7)} = \frac{-12n^2 - 6n + (2n^2 + 7n + 4n + 14)}{3n(2n+7)} = \frac{-10n^2 + 5n + 14}{3n(2n+7)}$.
Ответ: $\frac{-10n^2 + 5n + 14}{3n(2n+7)}$.

3)Для нахождения значения выражения $\frac{3x-3}{(2+n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$ воспользуемся тем, что из условия $x = \frac{3n}{n+2}$ следует равенство $(n+2)x = 3n$.Рассмотрим первую дробь. Её знаменатель можно упростить: $(2+n)x+n = 3n+n = 4n$.Числитель первой дроби: $3x-3 = 3(x-1) = 3\left(\frac{3n}{n+2}-1\right) = 3\left(\frac{3n-(n+2)}{n+2}\right) = 3\left(\frac{2n-2}{n+2}\right) = \frac{6(n-1)}{n+2}$.Таким образом, первая дробь равна $\frac{\frac{6(n-1)}{n+2}}{4n} = \frac{6(n-1)}{4n(n+2)} = \frac{3(n-1)}{2n(n+2)}$.Рассмотрим вторую дробь. Из равенства $(n+2)x = 3n$ следует $xn+2x=3n$, откуда $2x-3n = -xn$.Числитель второй дроби: $x-3 = \frac{3n}{n+2} - 3 = \frac{3n-3(n+2)}{n+2} = \frac{-6}{n+2}$.Знаменатель второй дроби: $2x-3n = -xn = -n \cdot \frac{3n}{n+2} = \frac{-3n^2}{n+2}$.Таким образом, вторая дробь равна $\frac{\frac{-6}{n+2}}{\frac{-3n^2}{n+2}} = \frac{-6}{-3n^2} = \frac{2}{n^2}$.Теперь найдем разность дробей:$\frac{3(n-1)}{2n(n+2)} - \frac{2}{n^2} = \frac{3n(n-1) - 2 \cdot 2(n+2)}{2n^2(n+2)} = \frac{3n^2 - 3n - 4n - 8}{2n^2(n+2)} = \frac{3n^2 - 7n - 8}{2n^2(n+2)}$.
Ответ: $\frac{3n^2 - 7n - 8}{2n^2(n+2)}$.

41.13. Сравните значения выражений $(a - \frac{4ab}{a + b} + b) : (a - b)$ и

$\frac{a}{a + b} - \frac{b}{b - a} = \frac{2ab}{a^2 - b^2}$ при $a = 3, b = -4$.

Для того чтобы сравнить значения выражений, мы сначала упростим каждое из них, а затем подставим заданные числовые значения $a=3$ и $b=-4$.

$\left(a - \frac{4ab}{a+b} + b\right) : (a-b)$

Сначала упростим выражение. Сгруппируем слагаемые $a$ и $b$ и выполним действия в скобках, приведя их к общему знаменателю:
$a - \frac{4ab}{a+b} + b = (a+b) - \frac{4ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{a+b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{a+b} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a+b} = \frac{(a-b)^2}{a+b}$
Теперь выполним деление:
$\frac{(a-b)^2}{a+b} : (a-b) = \frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b}{a+b}$
Подставим значения $a=3$ и $b=-4$ в упрощенное выражение:
$\frac{3 - (-4)}{3 + (-4)} = \frac{3+4}{3-4} = \frac{7}{-1} = -7$

$\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a}$

(Примечание: в условии задачи после этого выражения стоит знак равенства и выражение $\frac{2ab}{a^2-b^2}$. Это равенство не является тождеством и не выполняется при заданных значениях переменных, поэтому будем вычислять значение выражения $\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a}$).
Упростим данное выражение. Для этого изменим знак в знаменателе второй дроби: $b-a = -(a-b)$.
$\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a} = \frac{a}{a+b} - \frac{b}{-(a-b)} = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$\frac{a(a-b) + b(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 - ab + ab + b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$
Подставим значения $a=3$ и $b=-4$ в упрощенное выражение:
$\frac{3^2 + (-4)^2}{3^2 - (-4)^2} = \frac{9 + 16}{9 - 16} = \frac{25}{-7} = -\frac{25}{7}$

Сравнение значений
Мы получили, что значение первого выражения равно $-7$, а значение второго выражения равно $-\frac{25}{7}$.
Для сравнения этих чисел, представим $-7$ в виде дроби со знаменателем 7:
$-7 = -\frac{7 \cdot 7}{7} = -\frac{49}{7}$
Теперь сравним дроби $-\frac{49}{7}$ и $-\frac{25}{7}$.
Поскольку $49 > 25$, то для отрицательных чисел будет верно обратное неравенство: $-49 < -25$.
Следовательно, $-\frac{49}{7} < -\frac{25}{7}$, что равносильно $-7 < -\frac{25}{7}$.
Таким образом, значение первого выражения меньше значения второго выражения.
Ответ: Значение выражения $\left(a - \frac{4ab}{a+b} + b\right) : (a-b)$ меньше, чем значение выражения $\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a}$.

41.14. Докажите, что верно равенство:

1) $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a} = \frac{16}{9 - a^2} $

2) $ \frac{b - c}{a + b} - \frac{ab - b^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - b^2} = -\frac{c}{a} $

1) Чтобы доказать равенство, мы преобразуем его левую часть (ЛЧ) и покажем, что она равна правой части (ПЧ).
ЛЧ = $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a} $
Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ и вынесение общего множителя за скобки:
$ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) $
$ a^2 + 5a = a(a + 5) $
$ a^2 - 3a = a(a - 3) $
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$ \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a + 5)} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} $
Выполним умножение в первом члене, сократив на общий множитель $(a + 5)$:
$ \frac{(a - 5)\cancel{(a + 5)}}{a + 3} \cdot \frac{1}{a\cancel{(a + 5)}} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} = \frac{a - 5}{a(a + 3)} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} $
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $a(a + 3)(a - 3)$:
$ \frac{(a - 5)(a - 3)}{a(a + 3)(a - 3)} - \frac{(a + 5)(a + 3)}{a(a - 3)(a + 3)} $
Раскроем скобки в числителях:
$ (a - 5)(a - 3) = a^2 - 3a - 5a + 15 = a^2 - 8a + 15 $
$ (a + 5)(a + 3) = a^2 + 3a + 5a + 15 = a^2 + 8a + 15 $
Подставим полученные выражения в числитель и выполним вычитание:
$ \frac{(a^2 - 8a + 15) - (a^2 + 8a + 15)}{a(a + 3)(a - 3)} = \frac{a^2 - 8a + 15 - a^2 - 8a - 15}{a(a + 3)(a - 3)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{-16a}{a(a + 3)(a - 3)} $
Сократим дробь на $a$ (при $a \neq 0$):
$ \frac{-16}{(a + 3)(a - 3)} = \frac{-16}{a^2 - 9} $
Вынесем знак минус из знаменателя:
$ \frac{-16}{-(9 - a^2)} = \frac{16}{9 - a^2} $
Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Таким образом, ЛЧ = ПЧ.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем второе равенство, преобразовав его левую часть (ЛЧ).
ЛЧ = $ \frac{b - c}{a + b} - \frac{ab - b^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - b^2} $
Сначала упростим произведение дробей. Разложим числители и знаменатели на множители:
$ ab - b^2 = b(a - b) $
$ a^2 - ac = a(a - c) $
$ a^2 - c^2 = (a - c)(a + c) $
$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $
Подставим разложения в произведение:
$ \frac{b(a - b)}{a(a - c)} \cdot \frac{(a - c)(a + c)}{(a - b)(a + b)} $
Сократим общие множители $(a - b)$ и $(a - c)$:
$ \frac{b\cancel{(a - b)}}{a\cancel{(a - c)}} \cdot \frac{\cancel{(a - c)}(a + c)}{\cancel{(a - b)}(a + b)} = \frac{b(a + c)}{a(a + b)} $
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в левую часть исходного равенства:
$ \frac{b - c}{a + b} - \frac{b(a + c)}{a(a + b)} $
Приведем дроби к общему знаменателю $a(a + b)$:
$ \frac{a(b - c)}{a(a + b)} - \frac{b(a + c)}{a(a + b)} = \frac{a(b - c) - b(a + c)}{a(a + b)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{ab - ac - ab - bc}{a(a + b)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{-ac - bc}{a(a + b)} $
Вынесем общий множитель $-c$ в числителе:
$ \frac{-c(a + b)}{a(a + b)} $
Сократим дробь на $(a + b)$ (при $a+b \neq 0$):
$ \frac{-c\cancel{(a + b)}}{a\cancel{(a + b)}} = -\frac{c}{a} $
Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Таким образом, ЛЧ = ПЧ.
Ответ: Равенство доказано.