Страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.8. Выполните действия:

1) $\frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10}$;

2) $\frac{(a+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{2x+9}$;

3) $\frac{a^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5b+15}{b^2-4c^2}$;

4) $\frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a}$.

1) $\frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10}$

Чтобы выполнить умножение дробей, разложим числители и знаменатели на множители. Для этого используем формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Знаменатель первой дроби: $2y+12 = 2(y+6)$.

Числитель второй дроби (формула разности квадратов): $y^2-36 = y^2-6^2 = (y-6)(y+6)$.

Знаменатель второй дроби: $2y-10 = 2(y-5)$.

Теперь подставим разложенные на множители выражения в исходный пример:

$\frac{(y-5)^2}{2(y+6)} \cdot \frac{(y-6)(y+6)}{2(y-5)}$

Объединим дроби и сократим общие множители $(y+6)$ и $(y-5)$:

$\frac{(y-5)^2(y-6)(y+6)}{2(y+6) \cdot 2(y-5)} = \frac{(y-5)(y-6)}{2 \cdot 2} = \frac{(y-5)(y-6)}{4}$

Ответ: $\frac{(y-5)(y-6)}{4}$

2) $\frac{(a+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{2x+9}$

Разложим на множители те части выражения, где это возможно.

Знаменатель первой дроби: $2x-4 = 2(x-2)$.

Числитель второй дроби (формула разности квадратов): $x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$.

Выражения $(a+3)^2$ и $2x+9$ в данном контексте на множители не раскладываются.

Подставим полученные выражения в исходный пример:

$\frac{(a+3)^2}{2(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{2x+9}$

Теперь можно сократить общий множитель $(x-2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(a+3)^2(x-2)(x+2)}{2(x-2)(2x+9)} = \frac{(a+3)^2(x+2)}{2(2x+9)}$

Ответ: $\frac{(a+3)^2(x+2)}{2(2x+9)}$

3) $\frac{a^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5b+15}{b^2-4c^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби.

Числитель второй дроби: $5b+15 = 5(b+3)$.

Знаменатель второй дроби (формула разности квадратов): $b^2-4c^2 = b^2-(2c)^2 = (b-2c)(b+2c)$.

Числитель первой дроби $a^2+2bc$ не поддается простому разложению на множители.

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{a^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5(b+3)}{(b-2c)(b+2c)}$

Сократим общий множитель $(b+3)$:

$\frac{(a^2+2bc) \cdot 5(b+3)}{(b+3)(b-2c)(b+2c)} = \frac{5(a^2+2bc)}{(b-2c)(b+2c)}$

Ответ: $\frac{5(a^2+2bc)}{(b-2c)(b+2c)}$

4) $\frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a}$

Для выполнения умножения разложим числители и знаменатели обеих дробей на множители.

Числитель первой дроби (разность квадратов): $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.

Числитель второй дроби (вынесение общего множителя): $7a-7b = 7(a-b)$.

Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя): $a^2+a = a(a+1)$.

Подставим разложенные на множители выражения в исходный пример:

$\frac{(a-1)(a+1)}{a-b} \cdot \frac{7(a-b)}{a(a+1)}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $(a+1)$:

$\frac{(a-1)(a+1) \cdot 7(a-b)}{(a-b) \cdot a(a+1)} = \frac{7(a-1)}{a}$

Ответ: $\frac{7(a-1)}{a}$

40.9. Представьте в виде дроби выражение:

1) $(\frac{a^3}{c^2})^4$;

2) $(\frac{2a^3}{3b^4})^5$;

3) $(\frac{3x^2y^4}{4m^3})^2$;

4) $(\frac{10m^2}{3n^2p^3})^3$;

5) $(\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4$;

6) $(\frac{b^3c^2}{8a^3})^2.

1) Чтобы представить выражение $(\frac{a^3}{c^2})^4$ в виде дроби, необходимо возвести в степень 4 и числитель, и знаменатель дроби. Для этого воспользуемся свойством возведения дроби в степень: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$, а также свойством возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(\frac{a^3}{c^2})^4 = \frac{(a^3)^4}{(c^2)^4} = \frac{a^{3 \cdot 4}}{c^{2 \cdot 4}} = \frac{a^{12}}{c^8}$

Ответ: $\frac{a^{12}}{c^8}$

2) Для выражения $(\frac{2a^3}{3b^4})^5$ применяем те же свойства. Возводим в степень 5 каждый множитель в числителе и знаменателе. Используем свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

$(\frac{2a^3}{3b^4})^5 = \frac{(2a^3)^5}{(3b^4)^5} = \frac{2^5 \cdot (a^3)^5}{3^5 \cdot (b^4)^5} = \frac{32 \cdot a^{3 \cdot 5}}{243 \cdot b^{4 \cdot 5}} = \frac{32a^{15}}{243b^{20}}$

Ответ: $\frac{32a^{15}}{243b^{20}}$

3) Представим в виде дроби выражение $(\frac{3x^2y^4}{4m^3})^2$. Возводим в квадрат числитель и знаменатель, применяя те же правила.

$(\frac{3x^2y^4}{4m^3})^2 = \frac{(3x^2y^4)^2}{(4m^3)^2} = \frac{3^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^4)^2}{4^2 \cdot (m^3)^2} = \frac{9 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^{4 \cdot 2}}{16 \cdot m^{3 \cdot 2}} = \frac{9x^4y^8}{16m^6}$

Ответ: $\frac{9x^4y^8}{16m^6}$

4) Для выражения $(\frac{10m^2}{3n^2p^3})^3$ возводим в куб (в третью степень) числитель и знаменатель.

$(\frac{10m^2}{3n^2p^3})^3 = \frac{(10m^2)^3}{(3n^2p^3)^3} = \frac{10^3 \cdot (m^2)^3}{3^3 \cdot (n^2)^3 \cdot (p^3)^3} = \frac{1000 \cdot m^{2 \cdot 3}}{27 \cdot n^{2 \cdot 3} \cdot p^{3 \cdot 3}} = \frac{1000m^6}{27n^6p^9}$

Ответ: $\frac{1000m^6}{27n^6p^9}$

5) В выражении $(-\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4$ отрицательная дробь возводится в четную степень (4), поэтому результат будет положительным. $(-\frac{x}{y})^{2k} = (\frac{x}{y})^{2k}$.

$(-\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4 = (\frac{5a^3}{3b^2c^4})^4 = \frac{(5a^3)^4}{(3b^2c^4)^4} = \frac{5^4 \cdot (a^3)^4}{3^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^4)^4} = \frac{625 \cdot a^{3 \cdot 4}}{81 \cdot b^{2 \cdot 4} \cdot c^{4 \cdot 4}} = \frac{625a^{12}}{81b^8c^{16}}$

Ответ: $\frac{625a^{12}}{81b^8c^{16}}$

6) В выражении $(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2$ отрицательная дробь также возводится в четную степень (2), поэтому знак минус исчезает.

$(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = (\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = \frac{(b^3c^2)^2}{(8a^3)^2} = \frac{(b^3)^2 \cdot (c^2)^2}{8^2 \cdot (a^3)^2} = \frac{b^{3 \cdot 2} \cdot c^{2 \cdot 2}}{64 \cdot a^{3 \cdot 2}} = \frac{b^6c^4}{64a^6}$

Ответ: $\frac{b^6c^4}{64a^6}$

40.10. Докажите, что не зависит от допустимых значений переменной значение выражения:

1) $ \frac{a^2 - 1}{a - b} \cdot \frac{7a - 7b}{a^2 + a} : \frac{a - 1}{a} $

2) $ \frac{(x + 3)^2}{2x - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{3x + 9} \cdot \frac{2}{(x + 3) \cdot (x + 2)} $

3) $ \frac{(y - 5)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 - 36}{2y - 10} \cdot \frac{2}{(y - 5) \cdot (x + 6)} $

4) $ \frac{n^2 + 2nc}{n + 3} \cdot \frac{5n + 15}{n^2 - 4c^2} \cdot \frac{n - 2c}{n} $

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от допустимых значений переменной, необходимо его упростить. Выполним преобразования для $ \frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a} : \frac{a-1}{a} $.
Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:
$ a^2-1 = (a-1)(a+1) $
$ 7a-7b = 7(a-b) $
$ a^2+a = a(a+1) $
Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное. Деление на дробь заменим умножением на обратную ей дробь:
$ \frac{(a-1)(a+1)}{a-b} \cdot \frac{7(a-b)}{a(a+1)} \cdot \frac{a}{a-1} $
Запишем все под одной дробной чертой и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{(a-1)(a+1) \cdot 7(a-b) \cdot a}{(a-b) \cdot a(a+1) \cdot (a-1)} = \frac{7 \cdot \cancel{(a-1)} \cdot \cancel{(a+1)} \cdot \cancel{(a-b)} \cdot \cancel{a}}{\cancel{(a-b)} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{(a+1)} \cdot \cancel{(a-1)}} = 7 $
В результате упрощения получилось число 7. Это доказывает, что значение выражения не зависит от значений переменных $a$ и $b$ (при условии, что они входят в область допустимых значений: $a \neq b, a \neq 0, a \neq -1, a \neq 1$).
Ответ: 7.

2) Упростим выражение $ \frac{(x+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{3x+9} \cdot \frac{2}{(x+3)(x+2)} $.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
$ 2x-4 = 2(x-2) $
$ x^2-4 = (x-2)(x+2) $
$ 3x+9 = 3(x+3) $
Подставим разложенные выражения в исходное:
$ \frac{(x+3)^2}{2(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{3(x+3)} \cdot \frac{2}{(x+3)(x+2)} $
Объединим все в одну дробь и сгруппируем множители для удобства сокращения:
$ \frac{(x+3)^2 \cdot (x-2)(x+2) \cdot 2}{2(x-2) \cdot 3(x+3) \cdot (x+3)(x+2)} = \frac{2 \cdot (x+3)^2 \cdot (x-2)(x+2)}{6 \cdot (x+3)^2 \cdot (x-2)(x+2)} $
Теперь сократим общие множители $ (x+3)^2 $, $ (x-2) $, $ (x+2) $ и числовые коэффициенты:
$ \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{(x+3)^2} \cdot \cancel{(x-2)} \cdot \cancel{(x+2)}}{\cancel{6}_3 \cdot \cancel{(x+3)^2} \cdot \cancel{(x-2)} \cdot \cancel{(x+2)}} = \frac{1}{3} $
Значение выражения равно $ \frac{1}{3} $ и не зависит от допустимых значений переменной $x$ (при $x \neq 2, x \neq -2, x \neq -3$).
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

3) Рассмотрим выражение $ \frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10} \cdot \frac{2}{(y-5)(x+6)} $.
В условии, скорее всего, допущена опечатка в последнем множителе. Наличие переменной $x$ и структура выражения указывают на то, что знаменатель должен был быть $ (y-5)(y-6) $. При таком исправлении значение выражения не будет зависеть от переменной. Решим задачу с этим исправлением.
Исправленное выражение: $ \frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10} \cdot \frac{2}{(y-5)(y-6)} $.
Разложим на множители:
$ 2y+12 = 2(y+6) $
$ y^2-36 = (y-6)(y+6) $
$ 2y-10 = 2(y-5) $
Подставим в выражение:
$ \frac{(y-5)^2}{2(y+6)} \cdot \frac{(y-6)(y+6)}{2(y-5)} \cdot \frac{2}{(y-5)(y-6)} $
Запишем все в виде одной дроби:
$ \frac{(y-5)^2 \cdot (y-6)(y+6) \cdot 2}{2(y+6) \cdot 2(y-5) \cdot (y-5)(y-6)} = \frac{2 \cdot (y-5)^2 \cdot (y-6)(y+6)}{4 \cdot (y-5)^2 \cdot (y-6)(y+6)} $
Сократим общие множители $ (y-5)^2 $, $ (y-6) $, $ (y+6) $ и $ \frac{2}{4} $:
$ \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{(y-5)^2} \cdot \cancel{(y-6)} \cdot \cancel{(y+6)}}{\cancel{4}_2 \cdot \cancel{(y-5)^2} \cdot \cancel{(y-6)} \cdot \cancel{(y+6)}} = \frac{1}{2} $
С учетом исправленной опечатки, значение выражения равно $ \frac{1}{2} $ и не зависит от $y$.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

4) Упростим выражение $ \frac{n^2+2nc}{n+3} \cdot \frac{5n+15}{n^2-4c^2} \cdot \frac{n-2c}{n} $.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
$ n^2+2nc = n(n+2c) $
$ 5n+15 = 5(n+3) $
$ n^2-4c^2 = (n-2c)(n+2c) $
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{n(n+2c)}{n+3} \cdot \frac{5(n+3)}{(n-2c)(n+2c)} \cdot \frac{n-2c}{n} $
Запишем все множители в одну дробь и выполним сокращение:
$ \frac{n(n+2c) \cdot 5(n+3) \cdot (n-2c)}{(n+3) \cdot (n-2c)(n+2c) \cdot n} = \frac{5 \cdot \cancel{n} \cdot \cancel{(n+2c)} \cdot \cancel{(n+3)} \cdot \cancel{(n-2c)}}{\cancel{n} \cdot \cancel{(n+3)} \cdot \cancel{(n-2c)} \cdot \cancel{(n+2c)}} = 5 $
Значение выражения равно 5 и не зависит от допустимых значений переменных $n$ и $c$ (при $n \neq 0, n \neq -3, n \neq \pm 2c$).
Ответ: 5.

40.11. Выполните действия:

1) $\frac{mx^2 - my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx} : (x-y);$

2) $\frac{a^2 - 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1} \cdot (a+1);$

3) $\frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{7x + 7y} : ax;$

4) $\frac{b^3 - 8}{b^2 - 9} \cdot \frac{b + 3}{b^2 + 2b + 4};$

5) $\frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : (x-y);$

6) $\frac{c^2 + 6c + 9}{c^3 + 27} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3c + 9} : (c-3).$

1)Для решения данного примера выполним действия с дробями по порядку. Сначала разложим числители и знаменатели на множители, затем выполним умножение и деление.

Исходное выражение: $ \frac{mx^2 - my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx} : (x-y) $

1. Разложим на множители каждую часть выражения:

$mx^2 - my^2 = m(x^2 - y^2) = m(x-y)(x+y)$

$2m + 8 = 2(m+4)$

$3m + 12 = 3(m+4)$

$my + mx = m(y+x) = m(x+y)$

Деление на $(x-y)$ эквивалентно умножению на $ \frac{1}{x-y} $.

2. Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$ \frac{m(x-y)(x+y)}{2(m+4)} \cdot \frac{3(m+4)}{m(x+y)} \cdot \frac{1}{x-y} $

3. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{m}\cancel{(x-y)}\cancel{(x+y)}}{2\cancel{(m+4)}} \cdot \frac{3\cancel{(m+4)}}{\cancel{m}\cancel{(x+y)}} \cdot \frac{1}{\cancel{x-y}} $

4. После сокращения остаются:

$ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2} = 1.5 $

Ответ: $ \frac{3}{2} $

2)Выполним действия с дробями в порядке их следования (слева направо). Сначала деление, затем умножение. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 1}{a^3 + 1} : \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1} \cdot (a+1) $

1. Разложим на множители:

$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$ (разность квадратов)

$a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1)$ (сумма кубов)

$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$ (квадрат суммы)

2. Подставим разложенные выражения и заменим деление на умножение (перевернув вторую дробь):

$ \frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{(a+1)^2}{a^2 - a + 1} \cdot \frac{a+1}{1} $

3. Сократим одинаковые множители в первой дроби:

$ \frac{a-1}{a^2 - a + 1} \cdot \frac{(a+1)^2}{a^2 - a + 1} \cdot (a+1) $

4. Перемножим оставшиеся дроби. Числители перемножаются с числителями, знаменатели со знаменателями:

$ \frac{(a-1) \cdot (a+1)^2 \cdot (a+1)}{(a^2 - a + 1) \cdot (a^2 - a + 1)} = \frac{(a-1)(a+1)^3}{(a^2 - a + 1)^2} $

Ответ: $ \frac{(a-1)(a+1)^3}{(a^2 - a + 1)^2} $

3)Выполним действия по порядку: сначала умножение, затем деление. Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Исходное выражение: $ \frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{7x + 7y} : ax $

1. Разложим на множители:

$ax + ay = a(x+y)$

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$

$x^2 - xy = x(x-y)$

$7x + 7y = 7(x+y)$

Деление на $ax$ эквивалентно умножению на $ \frac{1}{ax} $.

2. Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{a(x+y)}{(x-y)^2} \cdot \frac{x(x-y)}{7(x+y)} \cdot \frac{1}{ax} $

3. Сократим общие множители:

$ \frac{\cancel{a}\cancel{(x+y)}}{(x-y)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{(x-y)}}{7\cancel{(x+y)}} \cdot \frac{1}{\cancel{a}\cancel{x}} $

4. После сокращения получаем:

$ \frac{1}{x-y} \cdot \frac{1}{7} \cdot 1 = \frac{1}{7(x-y)} $

Ответ: $ \frac{1}{7(x-y)} $

4)Для решения данного примера необходимо разложить числители и знаменатели на множители и сократить общие множители.

Исходное выражение: $ \frac{b^3 - 8}{b^2 - 9} \cdot \frac{b+3}{b^2 + 2b + 4} $

1. Разложим на множители, используя формулы разности кубов и разности квадратов:

$b^3 - 8 = b^3 - 2^3 = (b-2)(b^2 + 2b + 4)$

$b^2 - 9 = (b-3)(b+3)$

2. Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{(b-2)(b^2 + 2b + 4)}{(b-3)(b+3)} \cdot \frac{b+3}{b^2 + 2b + 4} $

3. Сократим общие множители $(b+3)$ и $(b^2 + 2b + 4)$:

$ \frac{(b-2)\cancel{(b^2 + 2b + 4)}}{(b-3)\cancel{(b+3)}} \cdot \frac{\cancel{b+3}}{\cancel{b^2 + 2b + 4}} $

4. В результате остается:

$ \frac{b-2}{b-3} $

Ответ: $ \frac{b-2}{b-3} $

5)Выполним действия по порядку, предварительно разложив выражения на множители.

Исходное выражение: $ \frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : (x-y) $

1. Разложим на множители, используя формулы разности кубов и разности квадратов:

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

Деление на $(x-y)$ заменим умножением на $ \frac{1}{x-y} $.

2. Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{1}{x-y} $

3. Сократим общие множители:

$ \frac{\cancel{(x-y)}\cancel{(x^2 + xy + y^2)}}{\cancel{x + y}} \cdot \frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x^2 + xy + y^2}} \cdot \frac{1}{\cancel{x-y}} $

4. После сокращения всех возможных множителей остается:

$ x-y $

Ответ: $ x-y $

6)Выполним действия по порядку. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Исходное выражение: $ \frac{c^2 + 6c + 9}{c^3 + 27} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3c + 9} : (c-3) $

1. Разложим на множители, используя формулы квадрата суммы и суммы кубов:

$c^2 + 6c + 9 = (c+3)^2$

$c^3 + 27 = c^3 + 3^3 = (c+3)(c^2 - 3c + 9)$

$3c + 9 = 3(c+3)$

Деление на $(c-3)$ заменим умножением на $ \frac{1}{c-3} $.

2. Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{(c+3)^2}{(c+3)(c^2 - 3c + 9)} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3(c+3)} \cdot \frac{1}{c-3} $

3. Сократим общие множители. Сначала сократим $(c+3)$ в первой дроби:

$ \frac{c+3}{c^2 - 3c + 9} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3(c+3)} \cdot \frac{1}{c-3} $

Теперь сократим $(c^2 - 3c + 9)$ и $(c+3)$:

$ \frac{\cancel{c+3}}{\cancel{c^2 - 3c + 9}} \cdot \frac{\cancel{c^2 - 3c + 9}}{3\cancel{(c+3)}} \cdot \frac{1}{c-3} $

4. В результате получаем:

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{c-3} = \frac{1}{3(c-3)} $

Ответ: $ \frac{1}{3(c-3)} $

40.12. Упростите выражение:

1) $ \frac{n^2 - 10n + 25}{3a + 12} \cdot \frac{a^2 - 16}{2n - 10} $;

2) $ \frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10} $;

3) $ \frac{4 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a} $;

4) $ \frac{a^3 + 8}{18a^2 + 27a} \cdot \frac{2a + 3}{a^2 - 2a + 4} $.

1) Для того чтобы упростить выражение $\frac{n^2 - 10n + 25}{3a + 12} \cdot \frac{a^2 - 16}{2n - 10}$, разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Числитель первой дроби $n^2 - 10n + 25$ является полным квадратом разности $(n-5)^2$, так как $n^2 - 2 \cdot n \cdot 5 + 5^2 = (n-5)^2$.

В знаменателе первой дроби $3a + 12$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a + 4)$.

Числитель второй дроби $a^2 - 16$ является разностью квадратов $a^2 - 4^2$, которую можно разложить как $(a - 4)(a + 4)$.

В знаменателе второй дроби $2n - 10$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(n - 5)$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$\frac{(n-5)^2}{3(a+4)} \cdot \frac{(a-4)(a+4)}{2(n-5)}$

Сократим общие множители $(n-5)$ и $(a+4)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(n-5)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(a+4)}} \cdot \frac{(a-4)\cancel{(a+4)}}{2\cancel{(n-5)}} = \frac{(n-5)(a-4)}{3 \cdot 2} = \frac{(n-5)(a-4)}{6}$

Ответ: $\frac{(n-5)(a-4)}{6}$.

2) Упростим выражение $\frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10}$. Для этого разложим на множители составные части дробей.

Числитель первой дроби $y^2 - 25$ — это разность квадратов: $y^2 - 5^2 = (y-5)(y+5)$.

Знаменатель первой дроби $y^2 + 12y + 36$ — это полный квадрат суммы: $y^2 + 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 = (y+6)^2$.

В числителе второй дроби $3y + 18$ вынесем за скобки 3: $3(y+6)$.

В знаменателе второй дроби $2y + 10$ вынесем за скобки 2: $2(y+5)$.

Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:

$\frac{(y-5)(y+5)}{(y+6)^2} \cdot \frac{3(y+6)}{2(y+5)}$

Сократим одинаковые множители $(y+5)$ и $(y+6)$:

$\frac{(y-5)\cancel{(y+5)}}{(y+6)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(y+6)}}{2\cancel{(y+5)}} = \frac{3(y-5)}{2(y+6)}$

Ответ: $\frac{3(y-5)}{2(y+6)}$.

3) Упростим выражение $\frac{4 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a}$. Разложим на множители числители и знаменатели.

Числитель $4 - a^2$ — разность квадратов: $2^2 - a^2 = (2-a)(2+a)$.

Знаменатель $4a + 8b$ — выносим 4: $4(a+2b)$.

Числитель $a^2 + 4ab + 4b^2$ — полный квадрат суммы: $a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.

Знаменатель $3 - 3a$ — выносим 3: $3(1-a)$.

Подставляем разложения в исходное выражение:

$\frac{(2-a)(2+a)}{4(a+2b)} \cdot \frac{(a+2b)^2}{3(1-a)}$

Сокращаем общий множитель $(a+2b)$:

$\frac{(2-a)(2+a)}{4\cancel{(a+2b)}} \cdot \frac{(a+2b)^{\cancel{2}}}{3(1-a)} = \frac{(2-a)(2+a)(a+2b)}{4 \cdot 3(1-a)} = \frac{(2-a)(2+a)(a+2b)}{12(1-a)}$

Ответ: $\frac{(2-a)(2+a)(a+2b)}{12(1-a)}$.

4) Упростим выражение $\frac{a^3 + 8}{18a^2 + 27a} \cdot \frac{2a + 3}{a^2 - 2a + 4}$. Разложим на множители.

Числитель $a^3 + 8$ — это сумма кубов: $a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2 - 2a + 4)$.

В знаменателе $18a^2 + 27a$ вынесем общий множитель $9a$: $9a(2a + 3)$.

Выражение $2a+3$ является простым.

Выражение $a^2 - 2a + 4$ является неполным квадратом разности и не раскладывается на множители с действительными корнями. Заметим, что оно совпадает со вторым множителем из разложения суммы кубов.

Подставляем разложения в исходное выражение:

$\frac{(a+2)(a^2 - 2a + 4)}{9a(2a + 3)} \cdot \frac{2a + 3}{a^2 - 2a + 4}$

Сокращаем общие множители $(a^2 - 2a + 4)$ и $(2a + 3)$:

$\frac{(a+2)\cancel{(a^2 - 2a + 4)}}{9a\cancel{(2a + 3)}} \cdot \frac{\cancel{2a + 3}}{\cancel{a^2 - 2a + 4}} = \frac{a+2}{9a}$

Ответ: $\frac{a+2}{9a}$.