Номер 40.8, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.8. Выполните действия:

1) $\frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10}$;

2) $\frac{(a+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{2x+9}$;

3) $\frac{a^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5b+15}{b^2-4c^2}$;

4) $\frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a}$.

1) $\frac{(y-5)^2}{2y+12} \cdot \frac{y^2-36}{2y-10}$

Чтобы выполнить умножение дробей, разложим числители и знаменатели на множители. Для этого используем формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Знаменатель первой дроби: $2y+12 = 2(y+6)$.

Числитель второй дроби (формула разности квадратов): $y^2-36 = y^2-6^2 = (y-6)(y+6)$.

Знаменатель второй дроби: $2y-10 = 2(y-5)$.

Теперь подставим разложенные на множители выражения в исходный пример:

$\frac{(y-5)^2}{2(y+6)} \cdot \frac{(y-6)(y+6)}{2(y-5)}$

Объединим дроби и сократим общие множители $(y+6)$ и $(y-5)$:

$\frac{(y-5)^2(y-6)(y+6)}{2(y+6) \cdot 2(y-5)} = \frac{(y-5)(y-6)}{2 \cdot 2} = \frac{(y-5)(y-6)}{4}$

Ответ: $\frac{(y-5)(y-6)}{4}$

2) $\frac{(a+3)^2}{2x-4} \cdot \frac{x^2-4}{2x+9}$

Разложим на множители те части выражения, где это возможно.

Знаменатель первой дроби: $2x-4 = 2(x-2)$.

Числитель второй дроби (формула разности квадратов): $x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$.

Выражения $(a+3)^2$ и $2x+9$ в данном контексте на множители не раскладываются.

Подставим полученные выражения в исходный пример:

$\frac{(a+3)^2}{2(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{2x+9}$

Теперь можно сократить общий множитель $(x-2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(a+3)^2(x-2)(x+2)}{2(x-2)(2x+9)} = \frac{(a+3)^2(x+2)}{2(2x+9)}$

Ответ: $\frac{(a+3)^2(x+2)}{2(2x+9)}$

3) $\frac{a^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5b+15}{b^2-4c^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби.

Числитель второй дроби: $5b+15 = 5(b+3)$.

Знаменатель второй дроби (формула разности квадратов): $b^2-4c^2 = b^2-(2c)^2 = (b-2c)(b+2c)$.

Числитель первой дроби $a^2+2bc$ не поддается простому разложению на множители.

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{a^2+2bc}{b+3} \cdot \frac{5(b+3)}{(b-2c)(b+2c)}$

Сократим общий множитель $(b+3)$:

$\frac{(a^2+2bc) \cdot 5(b+3)}{(b+3)(b-2c)(b+2c)} = \frac{5(a^2+2bc)}{(b-2c)(b+2c)}$

Ответ: $\frac{5(a^2+2bc)}{(b-2c)(b+2c)}$

4) $\frac{a^2-1}{a-b} \cdot \frac{7a-7b}{a^2+a}$

Для выполнения умножения разложим числители и знаменатели обеих дробей на множители.

Числитель первой дроби (разность квадратов): $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.

Числитель второй дроби (вынесение общего множителя): $7a-7b = 7(a-b)$.

Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя): $a^2+a = a(a+1)$.

Подставим разложенные на множители выражения в исходный пример:

$\frac{(a-1)(a+1)}{a-b} \cdot \frac{7(a-b)}{a(a+1)}$

Сократим общие множители $(a-b)$ и $(a+1)$:

$\frac{(a-1)(a+1) \cdot 7(a-b)}{(a-b) \cdot a(a+1)} = \frac{7(a-1)}{a}$

Ответ: $\frac{7(a-1)}{a}$